2017年河北师范大学数学与信息科学学院908数学分析与高等代数综合[专业学位]之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 建立以点（1，3，﹣2）为球心，且通过坐标原点的球面方程.
【答案】设以点（1，3，﹣2）为球心，R 为半径的球面方程为
球面过原点，故
从而所求球面方程为
2． 求曲线
上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
，构造拉格朗日函数
计算得
当x ＞0, y ＞0时，由式（9-3）、（9-4）得
得y=x或3xy=－（x+y）（由于x ＞0, y ＞0，舍去）. ，化简得
将y=x代入（9-5）
，即
计算得x=y=1，即（1, 1）为唯一可能的极值点. 当
时，（1, 1）到远点的距离为
.
f x , y ）求（
，得
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【答案】设M （x , y ）为曲线上一点，距离
，再考虑边界点，即（0, 1），，（1, 0）
它们到远点的距离都是1，故最小值为1，最大值为
3． 已知函数（f x , y ）满足的极值.
【答案】已知
已知得
，从而
将上式两端对x 积分得
因为计算得
令
，计算得，驻点为（0，－1），则
由于
，所以极小值为f （0，－1）=－1。
2
4． 直径为20cm ，高为80cm 的圆筒内充满压强为10N/cm的蒸汽，设温度保持不变，要使蒸汽体积缩小一半，问需要作多少功？
【答案】由条件的压强为p （h ）N/m，则
2,
，得
，所以，得
为常数，故
，压力为
。设圆筒内高度减少hm 时蒸汽
，因此做的功为
5． 求由下列方程所确定的隐函数的二阶导数
；
【答案】（1）应用隐函数的求导方法，得得
（2）应用隐函数的求导方法，得
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，于是在上式两端再对x 求导，
于是
（3）应用隐函数的求导方法，得
于是
（4）应用隐函数的求导方法，得于是
6． 判定下列级数的收敛性：
【答案】（1）知原级数发散。
（2）（3
）
而级
数
据比值审敛法知
（4）
敛法知原级数发散。
（5）
因
由于一般项不趋于零，故级数发散。
是收敛的（事实上
，
因
而级数
发散，故由极限形式的比较审敛法
，故由比较审敛法知原级数收敛。 收敛）而级数
发散，故由极限形式的比较审
由比值审敛法知，当a<1时，级数收敛，当a>1时级数发散。 当a=1时，原级数成为
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由p-级数的结论知，当s>1时级数收敛，当s ≤1时级数发散。