2017年河北师范大学数学与信息科学学院908数学分析与高等代数综合[专业学位]之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 单调函数的导函数是否必为单调函数? 研究下面这个例子:
【答案】单调函数的导函数不一定是单调函数。例如函数
,
且
在任何有限区间内只有有限个零点。因此函数f （x ）在
内为单调增加函
数。但它的导函数在内却不是单调函数。
2
2． 把抛物线y =4ax及直线x=x0（x 0>0）所围成的图形绕x 轴旋转，计算所得旋转题的体积。
【答案】该体积即为
,
由于
，x=x0及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转所得，因此体积为
3． 设函数f （x ，y ）满足t ）的光滑曲线，计算曲线积分
【答案】因为
将f （0，y ）=y+1代入，可得计算得
所以
，满足
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且f （0，y ）=y+1，是从点（0, 0）到点（1，
并求
，所以
的最小值.
=y+1，所以
所以积分与路径无关，是从（0, 0）到（1，t ）的光滑曲线，所以
（2）因为，所以
令
，计算得t=2，则：
①当t ＞2时，，在上单调递增； ②当t ＜2时，，在上单调递减.
所以t=2时，
有最小值
=2+1=3
4． 利用泰勒公式求下列极限:
【答案】（1）
（3）
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2
）
（
5． 设光滑曲线
过原点，且当时对应于且
一段曲线的弧长为
求
【答案】根据题设条件得
即
取
故
6． 已知平面区域
【答案】
, 则
积分得
在积分方程两端对x 求导，
得
由初始条件
知
，计算二重积分
因为区间[
]关于原点对称，上式中关于的被积函数为偶函数，所以
因为
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