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一、选择题

1． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使.

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 设

其中

则PAQ=B

则3条直线

①

（其中A. B. C. 秩D.

线性相关，

【答案】D 【解析】令其中

秩由秩从而可由

3． 设A 为常数，则

A. B. C.

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D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B

）交于一点的充要条件是（ ）

线性相关 线性无关

线性无关 则方程组①可改写为

②

则3条直线交于一点

. ，可知

线性无关，由秩

可知1

线性相关，即

可由

线性表出，

线性表出. 矩阵，

线性相关，故选D. 是非齐次线性方程组

的3个线性无关的解，

为任意

方程组①有惟一解

方程组②有惟一解

的通解为（ ）.

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D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.

考虑到

是. （否则与

是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组

有解矛盾），所以

的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.

从而

是

的一个

的一个特解，所以选C.

与

分别为A , B 的伴随矩阵，

4． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B , 则有（ ）.

A. 交换A *的第1列与第2列得B * B. 交换A 的第1行与第2行得B C. 交换A

的第1列与第

2列得- B D. 交换

A 的第1行与第2行得

- B 【答案】

C

【解析】

解法1:

题设又

所以有

*

*

*

*

*

*

所以有

即题设因此

即

5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如

A.E B.-E C.A D.-A

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

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右乘初等阵

所以

得

解法2

则为（ ）.

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又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

二、分析计算题

6． 设E 为n 阶单位矩阵，a , b为给定的n 维列向量，并有

证明：

是正定矩阵. 【答案】当

时，显然

所以有

正定.

令

则有H , 为对称阵，且

所以的特征值为

从而h ，半正定. 所以H 是正定矩阵.

7．

【答案】由

为阶矩阵, 试求可逆阵P , 使

为对角阵

知A 有特征值1 （对

方程组

重）和一1 （k 重）

同解于

解之得一个基础解系

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