2018年西安交通大学数学与统计学院818高等代数与线性代数之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 在n 维向量空间取出两个向量组, 它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，从而否定A , 若选
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
则
线性无关，
均为n 维列向量，A 是
线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）.
线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
若选故选B.
3． 设A 是
A. 如果B. 如果秩
, ，从而否定C ,
矩阵，则. 则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D
有惟一解 只有零解
【解析】未知量个数有零解.
4． 下面哪一种变换是线性变换（ ）
A.
B. C.
不一定是线性变换，比如不是惟一的.
则当（ ）时，此时二次型为正定二
为任意实数
不等于0
为非正实数
不等于
则
这时方法2
所以当方法3设
对应的矩阵为A ，则
A 的3个顺序主子式为
所以当
时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.
【答案】C 【解析】而 5． 设次型.
A. B. C. D. 【答案】D
【解析】方法1用排除法令
. 则
也不是线性变换，比如给
,
即f 不是正定的. 从而否定A , B，C.
则
时，f 为正定二次型.
方法4令
时，二次型可化为
所以f 为正定的.
则当，
即
二、分析计算题
6． 计算n 阶行列式
【答案】解法1拆项法. 按第一列将
拆成两个行列式相加，其中第一个可利用第44题之结果，再将其中第二个行
列式的第一行乘一1加至其余各行，即得
解法2利用性质化为三角形行列式法. 第
行均减去第n 行；再把所得行列式的第
列都加到第n 列；最后
再按第一列展开，得
解法3利用性质化为三角形行列式另法.
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