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一、选择题

1． 设

与

为空间的两组基, 且

①

又

则（ ）.

A. B. C. D.B = A 【答案】C 【解析】令

由②有

将①代入④得

即故.

2． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩

秩A , 则线性方程组（ ）.

A. 有无穷多解 B. 必有惟一解

C.

D. 必有非零解

【答案】D 【解析】

阶方阵，且秩

秩

3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，

如

则

为（ A.E B.-E C.A D.-A

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②

③

④

.

）

【答案】A

【解析】由题设（E-A ）B=E所以有

B （E-A ） =E

又C （E-A ）=A故

（B-C ）（E-A ）=E-A

结合E-A 可逆，得B-C=E.

4． 二次型

A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1

方法2设二次型矩阵A , 则

是不定二次型，故选B.

是（ ）二次型.

由于因此否定A , C, A中有二阶主子式

从而否定D , 故选B.

5． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B. 存在可逆阵P ，使.

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

其中

则PAQ=B

D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B

二、分析计算题

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6． 设线性方程组

（1）

与方程

（2）

有公共解，求的值及所有公共解.

【答案】解法1:因方程组（1）与方程组（2）有公共解，即如下联立方程组（3）有解

（3）

对方程组（3）的增广阵施以初等行变换，有

由于方程组（3）有解，故其系数阵与增广阵等秩，于是（a-1）（a-2）=0即a=1或a=2 当a=1时

因此，方程组（1）与方程组（2）的公共解为当a=2时

其中k 为任意常数.

因此，方程组（1）与方程组（2）的公共解为

解法2:方程组（1）的系数行列式

当

时，方程组（1）只有零解，但此时

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不是方程组（2）的解.