2017年山东大学概率论、数理统计(各约占1,2)之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 为估计某台光谱仪测量材料中金属含量的测量误差，特置备了5个金属试块，其成分、金属含量、均匀性都有差别，设每个试块的测量值都服从正态分布，现对每个试块重复测量6次，计算得其样本标准差分别为间.
【答案】从题意可知，这里可以看作来自正态总体i=1, 2, …, 5，
由此可知
独立的，故有
从而
即
故的查表知
2． 掷一颗骰子100次, 记第i 次掷出的点数为求概率
利用林德伯格-莱维中心极限定理, 可得
这表明:掷100次骰子点数之平均在3到4之间的概率近似为0.9966, 很接近于1.
3． 设
是来自均匀分布
的样本, 试给出一个充分统计量.
点数之平均为
试
置信区间为
现算出
对
，
即
的容量为n=6的样本标准差，由于各试块的测量可认为相互
试求的0.95置信区
代入可算得的0.95置信区间为
【答案】由题意可得
【答案】总体的密度函数为
于是样本的联合密度函数为
即
令
, 并取
由因子分解定理,
为参数（
）的充分统计最.
4． —个质点从平面上某点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，每次游动的距离为1，求经过2n 次游动后，质点回到出发点的概率.
【答案】因为每次都等可能地向上、下、左、右四个方向随机游动，所以经过2n 次游动后，样本空间中共有
设所求事件为样本点共有本点总数
它为
由此得所求概率为
可算得：
5． 设律？
【答案】因为
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
6． 假定电话总机在某单位时间内接到的呼叫次数服从泊松分布，现观测了40个单位时间，接到的呼叫次数如下：
个样本点.
事件
发生要求（1）上下游动次数相等；（2）左右游动次数相等，否则不
个，当k 从0到n 累加起来就得事件
所含样
可能回到出发点，若上、下游动各k 次，那么左、右游动只能各n-k 次，这样共游动2n 次，此种
为独立的随机变量序列, 其中服从参数为的泊松分布, 试问是否服从大数定
在显著性水平0.05下能否认为该单位时间内平均呼叫次数不低于2.5次？并给出检验的p 值. 【答案】以X 记电话总机在该单位时间内接到的呼叫次数，可认为设为
而
因而，检验的统计量为若取拒绝原假设.
由于u 在成立时，服从标准正态分布，因而检验的p 值为
7． 设（X ，Y ）是二维随机变量，X 的边缘概率密度为
在给定
则
检验的拒绝域为
由于u=—2.1落入拒绝域，故
由于n=40较大，故可以采用大样本检验，泊松分布的均值和方差都是
，则要检验的假
的条件下，Y 的条件概率密度为
（1）求（X ，Y ）的概率密度（2）Y 的边缘密度
【答案】（1）（X ，Y ）的联合概率密度
（2）Y 的的边缘概率密度
8． 设
与是从同一正态总体独立抽取的容量相同的两个样本均值. 试确定样本容量且相互独立, 所以
n , 使得两样本均值的距离超过的概率不超过0.01.
【答案】由于
于是有
等价地,