2018年曲阜师范大学信息科学与工程学院602高等数学B(含线性代数)之工程数学—线性代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、解答题
1．
已知
的秩为
2.
二次型
求实数a 的值；
求正交变换x=Qy使得f 化为标准型. 【答案】
⑴由
可得
，
则矩阵
解得B 矩阵的特征值为
：当
时，
解
得对应的特征向量为
当时，
解
得对应的特征向量为
对于
解得对应的特征向量为
：
将单位转化为
：
. 令X=Qy,
则
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2． 设三阶方阵A
、B
满足
式
的值.
其中E 为三阶单位矩阵
.
若
求行列
【答案】由矩阵知
则. 可
逆. 又故即
所以
即而
故
3．
已知方程组量依次是
（Ⅰ）求矩阵 （Ⅱ）求【答案】
的基础解系.
有无穷多解，矩阵A 的特征值是1, -1, 0, 对应的特征向
当a=-1及a=0时，
方程组均有无穷多解。 当
a=-l时
，则
当g=0
时，则值的特征向量.
由
知
线性相关，
不合题意. 线性无关，可作为三个不同特征
（Ⅱ）
知
的基础解系，即为的特征向量
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4．
设二次型
（1）证明二次型f
对应的矩阵为（2
）若
【答案】（1）由题意知，
记
正交且均为单位向量，证明f
在正交变换下的标准形为
故二次型/
对应的矩阵为（2）证明：
设则
而矩阵A
的秩
故f
在正交变换下的标准形为
，由于
所以
为矩阵对应特征值所以
为矩阵对应特征值
所以
的特征向量；
的特征向量； 也是矩阵的一个特征值；
二、计算题
5． 设A 为n 阶矩阵，证明
与A 的特征值相同.
的根，同样
的特征值是特征多项式
的根，
【答案】A
的特征值是特征多项式
从而A
与 6．
设
【答案】
以
，
，c 与a 正交，且
左乘题设关系式，
得
求
因
正交，有
有
故
的特征值也相同.
但根据行列式性质1，这两个特征多项式是相等的：
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