2017年华北电力大学(北京)数理系892高等代数考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、选择题
1． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2列加到第1列得B ，再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵
.
A. B. C. D.
【答案】D 【解析】由题设知所以
2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D. 【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
3． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*，B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果阵
A.
的伴随矩阵为（ ）.
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则分块矩
B. C. D. 【答案】B
【解析】由题设可逆，由于
且
所以
4． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则A 与B （ ）.
，
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为即A 也有4个特征值0，0，0，4. 因而存在正交阵
其中
故A 〜B.
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
使
且由①式得
因此A 与B 合同.
5． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，如B=E+AB, C=A+CA, 则B —C 为（ ）.
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
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【解析】由题设（E-A ）B=E, 所以有
B （E-A ）=E.
又C （E-A ）=A，故
（B-C ）（E-A ）=E-A.
结合E-A 可逆，得B-C=E.
二、分析计算题
6． 讨论
取何值时，线性方程组
无解，有唯一解或有无穷多解，并求无穷多解时的通解. 【答案】
（1）当（2）当（3
）
时，
时，时
，
故方程组有唯一解. 故方程组无解.
方程组有无穷多解，
一般解为
为任意数.
其中
为自由未知量. 取特解为导出组的基础解系为故通解为
7． 设A 为m ×n 矩阵，E 是n 阶单位方阵. 证明：
①XA=E（X 为nXm 未知矩阵）②由AB=AC
可得其中B ，C 都是n ×s 矩阵. 【答案】①设A 的行向量组为n 元单位向量）.
若矩阵方程XA=E有解，则说明反之，若r （A ）=n，则n 元向量组示，
当然
可由
线性表示，从而
的秩是n ，从而任何n 元向量都可由它线性表E 的行向量组为，（均为几元行向量）
（即
也可由它线性表示. 由组合系数所构成的n ×m 矩阵即为XA=E的解.
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