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2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之高等代数考研题库

  摘要

一、选择题

1. 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有( ).

A.A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于

又由方法2:设考虑到

不妨设线性相关.

由已知及以上证明知B ’的列线性相关,即B 的行向量组线性相关.

由于AB=0, 所以有

即r (A )>0, r (B )>0, 所以有

R (A )

故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.

2. 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同,也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵,易知

B 的特征值为1,1,0,所以A 与B 合同,但不相似.

3. 设A 是n 阶矩阵,a 是n 维向量,若秩

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并记A 各列依次为

由于AB=0可推得AB 的第一列

从而

则A 与B ( ).

所以A 的特征值为3,3,0;而

则线性方程组( )•

【答案】D 【解析】

4. 设A 为3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列得B ,再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵

.

A. B. C. D.

【答案】D 【解析】由题设知所以

5. 若

【答案】C

【解析】由于第4列是两组数的和,由性质得

6. 在设

都是4维列向量,且4阶行列式

二、分析计算题

中,求由基

到基

的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标.

[1](1)

在下的坐标;

(2)

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在下的坐标;

(3)

,求一非零向量它在基(4) 继(1)【答案】(1)

就是过渡矩阵的第i 列. 因此过渡矩阵是

设向量

下的坐标为

下的坐标.

下有相同的坐标.

是单位向量组成的基. 的各分量恰是它在此基下的各个坐标,

经计算

(2)把列

就是

和分别按列排成矩阵M 和N. 记过渡矩阵为A ,A 的第i

用矩阵写出来,就是

下的坐标向量,即

再利用矩阵分块运算,就可写成N=MA.于是

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