2017年湖南师范大学数学与计算机科学学院958数学基础综合[专业硕士]之高等代数考研题库
● 摘要
一、选择题
1. 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有( ).
A.A 的列向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关,B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关,B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
由已知及以上证明知B ’的列线性相关,即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r (A )>0, r (B )>0, 所以有
R (A ) 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 2. 设 A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同,也不相似 【答案】B 【解析】A 、B 都是实对称矩阵,易知 B 的特征值为1,1,0,所以A 与B 合同,但不相似. 3. 设A 是n 阶矩阵,a 是n 维向量,若秩 第 2 页,共 50 页 并记A 各列依次为 由于AB=0可推得AB 的第一列 从而 则A 与B ( ). 所以A 的特征值为3,3,0;而 则线性方程组( )• 【答案】D 【解析】 4. 设A 为3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列得B ,再交换B 的第2行与第3行得单位矩阵 . A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由题设知所以 5. 若 【答案】C 【解析】由于第4列是两组数的和,由性质得 6. 在设 都是4维列向量,且4阶行列式 二、分析计算题 中,求由基 到基 的过渡矩阵,并求向量在所指基下的坐标. [1](1) 在下的坐标; (2) 第 3 页,共 50 页 在下的坐标; (3) 在 ,求一非零向量它在基(4) 继(1)【答案】(1) 就是过渡矩阵的第i 列. 因此过渡矩阵是 设向量 在 下的坐标为 与 下的坐标. 下有相同的坐标. 是单位向量组成的基. 的各分量恰是它在此基下的各个坐标, 故 则 经计算 (2)把列 就是 在 和分别按列排成矩阵M 和N. 记过渡矩阵为A ,A 的第i 用矩阵写出来,就是 下的坐标向量,即 再利用矩阵分块运算,就可写成N=MA.于是 第 4 页,共 50 页
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