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一、填空题

1． 设是由

【答案】【解析】令

为球体

，则

2． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:

设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.

曲面曲线曲线【答案】（C ）

【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对. 由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）

取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确.

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所确定，则_____。

，，

在点在点在点

的一个法向量为

的一个切向量为

的一个切向量为

3． 曲线

【答案】（-l , 0） 【解析】将

代入曲率计算公式, 有

整理有

, 解得x=0或-1, 又

, 所以x=-1, 这时y=0

上曲率为

的点的坐标是_____。

故该点坐标为（-1, 0） 4． 函数数

_____。 【答案】 【解析】记

，则

2°M 0在曲面

上，M 0处外法向n 的方向余弦

3°代公式得

5． 曲面

【答案】

【解析】由题意，构造函数

在点

。则有

则所求法线的方向向量为

。又法线过点

6． 经过平面程是_____。

【答案】

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在点处沿曲面在点M 0处法线方向n 的方向导

的法线方程为_____。

故所求法线方程为

的交线，并且与平面

垂直的平面方

【解析】解法一：设平面π1与π2的交线L 的方向向量为

求出L 上的一个点：联立π1、π2方程

令x=0，得点

所求平面π过M 0点与s 及

。

平行，因此，π的方程是

即

即

因为π垂直于π3，所以

解法二：也可用平面束方程来考虑：设所求平面π的方程为

即

取

得

，将

代入（1）式，得出π的方程

是某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为_____。

7． 已知

【答案】

2

因为由叠加原理知x-1与x -1是非齐次方程对应的齐次方程的解，且它们是线性无关的，于

是根据线性方程通解结构得出以上结论。 8． 曲线

【答案】

上对应于t=1的点处的法线方程为_____。

【解析】由题中函数表达式得，故法线为

即

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