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一、证明题

1． 设

，试证

：

【答案】因为X 的密度函数为

又因为Y=In X 的可能取值范围为单调增函数，其反函数为

且

是区间

上的严格

所以Y 的密度函数为

这正是的密度函数.

2． 证明:对任意常数c , d , 有

【答案】

由

得

因而结论成立.

3． 若P （A ）>0，P （B ）>0，如果A ，B 相互独立，试证：A ，B 相容.

【答案】因为P （AB ）=P（A ）P （B ）>0，所以

即A ，B 相容.

4． 若P （A ）=1，证明：对任一事件B ，有P （AB ）=P（B ）.

【答案】因为

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所以由单调性知从而得

又因为

所以有P （B ）-P （AB ）=0，即得P （AB ）=P（B ）.

5． 设总体

【答案】由于总体均方误差为

是其样本，θ的矩估计和最大似然估计都是，它也是θ的相合

下存在优于的估计. 现考虑形如

的估计类，其

所以

估计和无偏估计，试证明在均方误差准则

将上式对a 求导并令其为0, 可以得到当

时，

最小. 且

这就证明了在均方误差准则下存在一个优于的估计. 这也说明，有偏估计有时不比无偏估计差.

6． 设X 为非负随机变量，a>0.若

【答案】因为当a>0时，

7． 设从均值为

方差为

存在，证明：对任意的x>0，有

是非负不减函数，所以由上题即可得结论.

的总体中，分别抽取容量为

的两独立样本，

分别是

这两个样本的均值. 试证，对于任意常数a , b （a+b=l），数a ，b 使Var （Y ）达到最小.

【答案】由于

是容量分别为

都是的无偏估计，并确定常

的两独立样本的均值，故

因而

这证明了又由a+b=l知，

是的无偏估计.

从而

由求导知，当

时，

达到最小，此时

这个结果表明，来自同一总体的两个容量为^和&

的样本的合样本（样本量为

是线性无偏估计类

8． 设

中方差最小的.

）的均值

是来自Rayleigh 分布Ra （θ）的一个样本，Rayleigh 分布的密度函数为

（1）求此分布的充分统计量；

（2）利用充分统计量在给定显著性水平下给出如下检验问题

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的拒绝域；

（3）在样本量较大时，利用中心极限定理给出近似拒绝域. 【答案】（1）样本的联合密度函数为

由因子分解定理知，的充分统计量是（2）注意到

由此可见

是

的无偏估计.

当

较大时，

拒绝原假设

是合理的.

故对

的拒绝域为

其中c 由概率等式可以证明，

当

在原假设由等式

成立下，有

可得

记

是分布的

分位数，可得

譬如，当n=15，即当检验统计量（3）由

可知

时，

所以

c=21.887.

时，将拒绝原假设

从而有

在原假设

成立下，有

这

里

可看作n 个相互独立同分布随机变量之和，故由中心极限定理

知

, 从而有

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确定. 为了确定c , 需要充分统计量

时

，

由此可

得

的分布.

或

者

利用分布的分位数可确定临界值c.

认为