2018年湖南师范大学数学与计算机科学学院750数学基础综合之高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、分析计算题
1． [1]求复数域上线性空间V 的线性变换
的特征值与特征向量，已知
在一组基下的矩阵为:
[2]在题[1]中哪些变换的矩阵可以在适当的基下变成对角形？在可以化成对角形的情况，写出相应的基变换的过渡矩阵T , 并验算
【答案】 [1]（1）
故A 的特征值为7，-2. 求特征向量. 对
，相应的齐次线性方程组为
它的基础解系为（1, 1）于是给定的基，
对特征值
取全体数值.
，相应的方程组为
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的属于特征值7的全部特征向量为是V 的
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其基础解系为值.
（2）当当属于属于
时，
的特征值为0, 任何非零向量都是特征向量.
.
, k 为任意非零复数. , k 为任意非零复数.
，
为任意数.
为任意数.
取任意数值. 取任意数值.
取不全为零的全体数值.
取任意数值.
，取任意数值
. 取任意数值. ，取任意数值.
，取任意数值.
，取任意数值.
时，特征值
的属于特征值
的全部特征向量为
，取所有数
的全部特征向量为的全部特征向量为
为不全为零的任意数值. 的全部特征向量为
的全部特征向量为的全体特征向量为
（3）特征值其中属于特征值（4）特征值属于特征值属于特征值（5）特征值为
属于特征值2的全部特征向量为
属于特征值2的全部特征向量为
属于特征值1的全体特征向量为属于特征值-1的全体特征向量为（6）特征值为0及属于属于
属于特征值0的全部特征向量为
的全部特征向量为的全部特征向量为
.
（7）特征值为
属于特征值1
的全部特征向量为
属于特征值-2的全部特征向量为
[2]由定理7知n 维线性空间的线性变换的矩阵能在某组基下成为对角形的充要条件是它有n 个无关的特征向量. 下面分别写出其过渡矩阵T.
（1）一对线性无关的特征向量作为基，其过渡矩阵是
在此基下的矩阵为
（2）当
时，
已是对角形.
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当时，一对线性无关的特征向量作为基，其过渡矩阵T ,
在此基下的矩阵为对角形
（3）取四个线性无关的特征向量为基，其过渡矩阵
在此基下矩阵为
（4）取三个线性无关的特征向量为基，其过渡矩阵为
在该基下矩阵为
（5）取三个线性无关的特征向量为基，其过渡矩阵为
在该基下矩阵为
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