2017年北京市培养单位遗传与发育生物学研究所803概率论与数理统计考研仿真模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 从同一总体中抽取两个容量分别为mm 的样本, 样本均值分别为
, 将两组样本合并, 其均值、方差分别为
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
2． 设A ，B ，C 为三个事件，且P （A ）=a，P （B ）=2a，P （C ）=3a，P （AB ）=P（AC ）=P（BC ）=b.证明
：
【答案】由又因为所以得 3． 设明:
为独立同分布的随机变量序列, 方差存在. 又设服从大数定律. 【答案】不妨
设
又因为
为绝对收敛级数, 可记
. 因为
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,
样本方差分别为
证明:
得
进一步由
为绝对收敛级数. 令
证
否则
令, 并讨
论即可.
由
知
故有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
4． 设连续随机变量x 的密度函数p （x ）是一个偶函数，F （x ）为X 的分布函数，求证对任意实数a>0，有
（1）（2）（3）且从（1）在
则
所以
（2）
（3）
5． 设
【答案】若
, 证明:
服从贝塔分布, 并指出其参数.
, 则X 的密度函数为
由
在
上是严格单调增函数, 其反函数
为
，
【答案】因为p （X ）是一个偶函数，所以P （-x ）=P（x ）
Z 的密度函数为
整理得
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这说明Z 服从贝塔分布
, 其两个参数分别为F 分布两个自由度的一半.
6． 设连续随机变量X 的分布函数为F （x ），且数学期望存在，证明：
【答案】
将第一个积分改写为二次积分，然后改变积分次序，得
第二个积分亦可改写为二次积分，然后改变积分次序，可得
这两个积分之和恰好是所要求证明的等式.
7． 设X 为仅取非负整数的离散随机变量，若其数学期望存在，证明：
（1）（2）
【答案】（1）由于
存在，所以该级数绝对收敛，从而有
（2）
8． 在伯努利试验中, 事件A 出现的概率为p , 令
证明:
服从大数定律.
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