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一、选择题

1． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A

【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值

又因为

即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵

其中得

因此A 与B 合同. 2． 设次型.

A. B. C. D. 【答案】D

【解析】方法1用排除法令这时

则

即f 不是正定的. 从而否定A , B，C. 为任意实数

不等于0

为非正实数

不等于

则当（ ）时，此时二次型为正定二

,

故

再由

是正交阵，知T 也是正交阵，从而有

且由①式使

则A 与B （ ）.

方法2所以当方法3设

则

时，f 为正定二次型.

对应的矩阵为A ，则

A 的3个顺序主子式为

所以当方法4令

，即

时，二次型可化为

所以f 为正定的.

3． 设A 是矩阵，

A. 如果B. 如果秩

则. 则

时，A 的3个顺序主子式都大于0, 则，为正定二次型，故选（D ）.

则当

为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. . 有非零解 有非零解

有惟一解 只有零解 有零解.

的3个线性无关的解，

为任意

C. 如果A 有阶子式不为零，则，D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D

【解析】

4． 设A 为常数，则

A. B. C.

未知量个数矩阵，

是非齐次线性方程组

的通解为（ ）.

D. 【答案】C 【解析】由于所以又显然有基础解系.

考虑到

是. （否则与

是非齐次线性方程组是对应齐次线性方程组

有解矛盾），所以

的三个线性无关的解， 的两个线性无关的解.

从而

是

的一个

的一个特解，所以选C.

5． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.

A.AB=BA

B.

存在可逆阵P ，使.

C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】

其中

则PAQ=B

D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B

二、分析计算题

6． 那么

逆矩阵

是数域P

上N 维线性空间V 的一个线性变换. 证明:

如果是数乘变换. 【答案】取V 的一组基

任何

. 则

是一组基. 于是

在这组基下的矩阵是

但题设它的矩阵也为A. 于是

由于是任何 7． 设使

【答案】设当

假设命题对

时,

为数域F 上n 维线性空间V 的两个子空间, 且,

, 对

时成立, 当

作归纳.

取

在任意一组基下的矩阵都相同，

在该基下矩阵为A , 我们证明A 是数量矩阵. 取可

故, 对任何成立.

与A 可交换知A 是数量矩阵，从而

是数乘变换. 证明:存在子空间W ,

均为Y 的真子空间. 存在

时, 可令

即可.