2017年河海大学量子力学考研复试核心题库
● 摘要
一、计算题
1． 二电子体系中，
总自旋【答案】（
写出（
）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。 则自旋单态为：
自旋三重态为：
）的归一化本征态记为
2． 两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.
【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为
（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为
对应能量为
.
（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是
对应能量为
.
（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的.
自旋已知
对应的本征函数有4个：
是交换反对称的，要配对称的空间波函数；
是交换对称的，要配反对称
的空间波函数. 所以体系能量最低的态对应的波函数是
对应能量为
.
3． 设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态
电子跃迁到激发态的概率.
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由
.
【答案】（1）根据跃迁几率公式
其中
可知，必须先求得
终态量子数必须是
到末态
的跃迁矩阵元为
将
代入跃迁几率公式
根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则记由初态
其中
T 为常数。
已知，a 基态其中为玻耳半径.
（2）基态电子跃迁到
4． 分别在【答案】（1
）在
故：令
因此有：由可得：
有：
因
是厄米算符，
有
所以
即a 、d 为实数
，
的几率均为0, 因为不符合跃迁的选择定则
的矩阵表示，并求出由
表象到
知
表象的变换矩阵。的本征值为±1，
表象中，求出表象中
应为对角矩阵，对角元为的本征值，由
所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。
由
而
所以
有：
取
则：
取（2）在
则
（比较在
表象中，
再求得
最后求得
表象中，方法同上。先令
表象到
表象的变换矩阵。
（3）下面求由
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