2017年黑龙江大学量子力学(同等学力加试)复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、计算题
1． 两个质量为m 的粒子处于一个边长为a ＞b ＞c 的，不可穿透的长盒子中. 求下列条件该体系能量最低态的 波函数（只写出空间部分）及对应能量. （1）非全同离子； （2）零自旋全同离子； （3）自旋为1/2的全同离子.
【答案】单粒子在边长a ＞b ＞c 的盒子中的定态波函数和定态能量为
（1）当两粒子是非全同离子时，体系能量最低的波函数为
对应能量为
.
（2）对于零自旋全同离子，体系的波函数必须是交换对称的，则体系能量最低的函波数是
对应能量为
.
（3）对于自旋为1/2的全同粒子，体系的波函数必须是交换反对称的. 自旋已知
对应的本征函数有4个：
是交换反对称的，要配对称的空间波函数；
是交换对称的，要配反对称
对应能量为
.
的空间波函数. 所以体系能量最低的态对应的波函数是
2． 设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态
电子跃迁到激发态的概率.
（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由
.
【答案】（1）根据跃迁几率公式
其中
可知，必须先求得
根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则记由初态
到末态
终态量子数必须是
的跃迁矩阵元为
其中 T 为常数。
已知，a 基态其中为玻耳半径.
将
代入跃迁几率公式
（2）基态电子跃迁到
的几率均为0, 因为不符合跃迁的选择定则
3． 空间中有一势场射）。 （1）写出
时，被散射粒子的渐近波函数
的表达式；如果已知散
它在
时趋于零. 一质量为m 的自由粒子被此势场散射（弹性散
（2
）从被散射粒子的渐近波函数射振幅
求微分散射截面
读出散射振幅
【答案】（1）该渐进波函数为
其中
令
为径向波函数，则有
另外
时，
上式即
解得而
时，时，
微分散射截面
满足
的矩阵表示。
且
求：
故所求为
（2）散射振幅即，
4． 已知厄米算符. （1）在A 表象中算符
（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，
在A 表象中算符的矩阵是
：设在A 表象中算符
的矩阵是
利用
所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，
得：