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一、计算题

1． 两个电子处于自旋单态，

分别表示两个电子的

算符。设的平均值。 则:

由于

（在

，表象）

（在

，则

表象）

而

解法二：

所以有：

解法三：

电子都处于自旋单态，故而

所以有：

2． 设质量为m 的粒子处于势场的本征波函数

也属于正幂次级数，故有定态方程

式中：

则I 式可以化为：令

上方程可化简为

式解得

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为空间任意给定的

两个方向的单位矢量，求关联系数C （a , b ），即

【答案】解法一：取为z 轴，在（x ，z ）平面与夹角为

其中，

所以有：

因为两个

中，K 为非零常数. 在动量表象中求与能量E 对应

【答案】显然势场不含时，属于一维定态问题，而

则其中C 为归一化常数。

3． 已知

【答案】

4． 已知在象到

在的本征态下，计算的平均值。

表象中，的本征函数为：则由表

表象的变换矩阵S 是什么？

【答案】

5． 考虑相距2a 、带电为e 和一e 的两个粒子组成的一个电偶极子，再考虑一个质量为m 、带电为e 的入射粒子，其入射波矢k 垂直于偶极子方向，见图求在玻恩近似下的散射振幅，并确定微分散射截面取最大值的方向。

图

【答案】电偶极子势能为 由波恩近似有散射振幅为散射微分截面为

式中此即所求表达式.

6． 已知厄米算符. 满足（1）在A 表象中算符

的矩阵表示。

【积分未完成】

且求：

（2）在B 表象中算符的本征值和本征函数。 （3）从A 表象到B 表象的么正变换矩阵S 。 【答案】（1）由于所以，

在A 表象中算符的矩阵是

：设在A 表象中算符

的矩阵是由于

所以：

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所以算符的本征值是因为在A 表象中，算符的矩阵是对角矩阵，

利用

得：

则有：

所以：

则有：令

其中为任意实常数，得在A 表象中的矩阵表示式为：

（2）类似地，可求出在B 表象中算符的矩阵表示为：在B 表象中算符的本征方程为：

α和β不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即对

有：

对

有：

所以，在B 表象中算符的本征值是

，本征函数为：

和-（3）类似地，在A 表象中算符的本征值是

则

可得：

即

则有：

由于是厄米算符，

本征函数为：

从A 表象到B 表象的么正变换矩阵就是将算符在A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即：

7． 力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？

【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。

8． 一粒子在一维无限深势阱【答案】由一维定态薛定谔方程有

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中运动，求粒子的能级和对应的波函数.