2017年黑龙江大学116量子力学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 在自旋态【答案】
下，求在自旋态j
下：
所以有：
2． 在表象中，电子波函数可表示为【答案】式中，波函数
，
代表
（自旋向上）的状态波函数，
代表
简要说明其物理意义。 （自旋向下）的状态
代表自旋向上的概率
，
代表自旋向下的概率，归一化表示为
：
3． 已知在象到
表象中，的本征函数为：
则由
表
表象的变换矩阵S 是什么？
【答案】
4． 分别在【答案】（1
）在
故：令
因此有：
因
表象中，求出表象中
的矩阵表示，并求出由表象到
知
表象的变换矩阵。的本征值为±1，
应为对角矩阵，对角元为的本征值，由
是厄米算符，
有
所以即a 、d 为实数
，
由可得：
有：
所以a=﹣a ，即a=0；d=﹣d ，即d=0。
由
而
所以
有：
取
则：
取（2）在
则
（比较在
表象中，
再求得
最后求得
表象中，方法同上。先令
表象到
表象的变换矩阵。
设其基矢为
（3）下面求由的本征值为：求
的本征矢，对于本征值有：
再归一化，得：对于本征矢
可得：
所以，变换矩阵为：取
5． 若两个中子的相互作用哈密顿为是什么。（设没有外场）
【答案】解法一：
设总自旋
有：
其中g 为作用常数，和分别为两个中子的自
旋算符， 求分的本征值和本征函数。如果同时计入中子的空间波函数，则两中子体系的总波函数
则:
而两中子的自旋波函数只有四种情况（即有4个本特征态）。 自选交换对称波函数：
自旋交换反对称波函数：
显然
与
对易，二者有共同的本征态：
即的本征值为
的对应波函数为
即的本征值为解法二：选择的本征态为对应特征值因为
时对应的函数为
表象（因为
（对应特征值的本征态，
），对应本征值
相互对易）。
（对应本征值本征态为
）。
对易，所以两中子的体系的波函数可以由的本征态的乘积构成如下四种情
况（结合全同粒子满足的波函数的对称性要求）：
自旋交换对称态：
自旋交换反对称态：又因为：