2018年中国石油大学(北京)理学院661数学分析考研强化五套模拟题
● 摘要
一、证明题
1． 设S 为非空有下界数集. 证明:
【答案】必要性, 设任一元素x ,
充分性, 设取
2． 证明:黎曼函数
在[0, 1]上可积.
【答案】由黎曼函数的性质, 个, 记为
作[0, 1]的分割T :
, 使其满足
由于
而在上式右边第一个和式中,
有
, 所以有
由第二充要条件, 黎曼函数在[0, 1]上可积.
3． 证明:（1）
【答案】（1）当
时,
（2）
. 当
时, 令|
则
且
; 在第二个和式中,
有
且
, 在[0, 1]上使得
的点至多有有限个, 不妨设是k
则又因为
则
因为是S 的下确界, 所以是S 的一个下界. 于是, 对于S 的所以是S 中最小的数. 即并且对于S 中的任意元素x , 所以是S 的下确界, 即
, 即是S 的一个下界.
对于任意
可知（2
）当
时
于是,
当
故
时
当
时,
而
故由迫敛性知
4． 证明下列结论:
（1）
当和
（2）若
时
,
, 使得, 其中, 并求
在点a 的邻域U （a ）内连续有
且
【答案】
（1）
令使得
, 则.
f X
）, 则在[X, X+1]
上对（利用拉格朗日定理, 当
时
,
,
令,
则, 于是有
从这个式子中可解得
由于
, 所以
, 且易知
（2）由泰勒定理知
其中于是
令
取极限, 利用n+1阶导数的定义及
在U （a ）内连续有
, 比较f （a+h）的两个展式有
,
5． 设
【答案】因
证明
单调递增趋于无穷, 故利用Stolz 公式
得
6
．
设f 在有界开集E 上一致连续, 证明:
（1）可将f
连续延拓到E 的边界； （2
）f 在E 上有界. 【答案】记⑴若空,
任取
（ii ）若任给
于是对上述的故（
iii ）若 则
从而当n> N时,
因此由①知
再由（ii ）知故由③知
由（i ） - （ii ）知:对每个P 的点列）. 定义
为E 的边界,
使
则
且
当
且
i
分以下几步证明.
事实上,
若
也存在.
事实上, 由f 在E 上一致连续可知:对
①
时
, 时
从而由①知
则对任一
非
则
存在,
则
, 存在
. 存在N , 当
存在.
且
收敛, 部
由②知存在N , 使当时,
②
与.
存在惟一实数
与之对应（其中
都存在.
③
为E 中任一收敛于