2018年广东工业大学应用数学学院846高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、填空题
1． 设
则
之秩S 与
可由
线性表示.
之秩t 的关系是_____.
【答案】
【解析】由已知等式可知将这些等式统统相加有所以
①
将①式两端分别减去
得
此即 2． 设
可由线性表示，从而两向量组等价，而等价向量组具有相同的秩，
若由
生成的向量空
间的维数为2, 则a=_____.
【答案】6 3． 设
E 是4阶单位矩阵.
则
_________
【答案】【解析】
4． 多项式
【答案】
除以.
所得余式为_____..
【解析】设
将
代入上式，得
由商式和余式的惟一性即得.
二、分析计算题
5． 设A 是n 阶方阵，且
【答案】解法1因为
（E 是n 阶单位矩阵，
，是A 的转置矩阵）
求
.
所以又因为解法2因为
所以
.
f
所以
由于所以
.
. 以
表示将空间绕
表示绕
轴由轴由
向向
方向旋转90°的变换，方向旋转90°的变换.
并检验
【答案】取任意向量
是否成立.
，则
于是有 （1）故有（2）
6． 在几何空间中，取正交坐标系以表示绕证明:
轴由
向
方向旋转90°的变换，以
. 同样有
.
故. （3）
.
.
故（4）
故
7． 设齐次线性方程组
其中
试讨论
为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解？在有无穷多组
解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解.
【答案】方程组①的系数行列式
（1）当（2）当
且
. 时，方程组①仅有零解.
时，对系数矩阵A 作行初等变换，有
原方程组的同解方程组为其基础解系为
故方程组①的全部解是
其中（3）当
为任意常数.
时，对系数矩阵A 作行初等变换，有
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