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一、计算题

1． 从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形做成一个漏斗（如图所示）。问留下的扇形的中心角取多大时, 做成的漏斗的容积最大?

【答案】如图, 设漏斗的高为h , 顶面的圆半径为r , 则漏斗的容积为故

令当

, 得

时,

, 故V 在

内单调增加; 当

为极大值点, 又驻点惟一, 从而时, 做成的漏斗的容积最大。

时,

, 故V

在

, 又

内单调减少。因此

也是最大值点, 即当

取

图

2． 求曲线

【答案】曲线在对应于t=1的点位

在对应于t=1的点处的切线及法平面方程。

，该点处的切向量

于是曲线在该点处的曲线方程为

即

所求法平面方程为

即

3． 设函数f （x ）在数集X 上有定义，试解：函数f （x ）在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界 又有下界。

【答案】设f （x ）在X 上有界，即存在M>0，使得

故

即f （x ）在X 上有上界M ，下界-M. 。 反之，设f （x ）在X 上有上界K l ，下界K 2，即

，取

界。

4． 设f （x , y ）在闭区域

，则有

，即f （x ）在X 上有

上连续，且

求f （x , y ）。 【答案】设

，则

从而

又

的面积

故得

因此

在极坐标系中，有

因此

于是得

从而

5． 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20m ，较长的底边和水面相齐。计算闸门的一侧所受的水压力。

【答案】如图建立坐标系，则过A 、B 两点的直线方程为的变化范围为[-20, 0]，对应小区间[y，y+dy]的面积近似值为因此水压力为

，取Y 为积分变量，Y

，γ表示水的密度，

图

6． 试确定积分区域D ，使二重积分

达到最大值.

大于所围的

【答案】由二重积分的性质可知，当积分区域D 包含了所有使被积函数等于零的点，而不包含使被积函数平面闭区域时，此二重积分的值达到最大.

小于零的点，即当D 是椭圆