2017年江苏师范大学教育科学学院(教师教育学院)高等数学(加试)考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求下列齐次方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
【答案】（1）当x>0时，可将原方程写成则原方程为
积分得将
，分离变量，得，即
代入上式并整理，得通解
，
令
，
即。
，即
，故通解为，令，积分得
。
，有
，积分得
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，令。
。
，
有
，则原方程为
，即
有
，
（2
）原方程可表示成
，分离变量，得
积分，得将
代入上式，得
。
。
，即
。
，有
，则原方程
（3
）原方程可表示为为
将
，即
代入上式并整理，得通解
（4）原方程可写成令
，即
，则原方程为
，即
。
。
分离变量，得将
代入上式并整理，得通解
（5）原方程可写成
。分离变量，得
将
代入上式，得通解（6）原方程可写成则原方程为整理并分离变量，得积分得
即
。
, 令，即，积分得
，有，则原方程成为，即
。令 ，即
，将
，即，有。
。
代入上式，得通解
。
2． 化下列方程为齐次方程，并求出通解
（1）（2）（3）（4）
【答案】（1）令4Y+2h+4k-6）dy=0.
令
原方程化为
（2X-5y ） dX-（2X+4y）dY=0,
即
则原方程成为积分
得故上式成为
，代入
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则
且原方程成为（2X-5Y+2h-5k+3）dx-（2x+
解此方程组得h=1, k=1。故在变换x=X+1, y=Y+1下，
，又令，有，即
，
。
，即
，因，
得原方程的通解（2）将原方程写成且原方程化为则原方程成为积分即
得原方程的通解（3）令+7k-3h+3）dY=0.
令
，解此方程组，得
则
。又令
，令，有
，
则
将
且原方程成为（3Y-7X+3k-7h+7）dX+（7Y-3X
代入上式，
故在变换下，
原方程化为（3Y-7X ）dX+（7Y-3X ）dY=0. 即
则原方程成为积分即将
代入上式，得原方程的通解
，
该方程属于
，则将满足微分方程
，且原方程成为代入上式，得原方程的通解
且
即
求y （x ）的极大值和极小值。这是一个可分离变量的一阶微分方C 为任意常数。由得
当x=1时，可解得
函数取得极大值
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，又令
即，得
，有
，
类型的，
一般可令
积分
（4
）将原方程写成
。令
得
3． 已知函数
【答案】
把方程化为标准形式得到程，在两边分别积分可得方程通解为
令
得
且
可
即
知