2017年清华大学交叉信息研究院841量子力学考研题库
● 摘要
一、计算题
1． 假设一个定域电子（忽略电子轨道运动）在均匀磁场中运动，磁场S 沿轴正向，电子磁矩在均匀磁场
中的势能表示
；
这里
为电子的磁矩。自旋用泡利矩阵
（1）求定域电子在磁场中的哈密顿量，并列出电子满足的薛定谔方程：（2）假设（3）求
时，电子自旋指向x 轴正向，即时，电子自旋指向y 轴负向，即
求
时，自旋的平均值。
的几率是多少？
【答案】（1）忽略电子轨道运动，其中，所以哈密顿为：薛定谔方程为：（2）在
是玻尔磁子。
表象中求解，自旋波函数可表示为：
即：
其中，设
因此可得：
时，电子的自旋指向x 轴正向，对应波函数为
在时刻t ，自旋的平均值：
所以：
（3）假设t 时刻，
的几率为P ，则
的几率为
且有：
所以：
2． 在【答案】
本征方程为：
即：
表象中，求
是
方向的单位矢。
的本征值和本征态，这里，
由此得：即：
有非零解的条件是：由此得：可求得与
对应的本征矢为：
与对应的本征矢为：
3． 考虑在无限深势阱（0＜x ＜a ）中运动的两电子体系，略去电子间的相互作用以及一切与自旋有关的相互作用，写出体系的基态和第一激发态的波函数和能量，并指出其简并度。 【答案】二电子体系，总波函数反对称。一维势阱中，体系能级为：
（1）基态：
空间部分波函数是对称的
：自旋部分波函数是反对称的：总波函数为：
（2）第一激发态：空间部分波函数：
自旋部分波函数：
二电子体系的总波函数为：
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