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一、计算题

1． 设粒子从

入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，如果粒子能量

（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；

（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为

令

则方程的解为

其中第一部分为入射波，第二部分为反射波

.

此即透射波函数.

由波函数连续及波函数导数连续有

试

而当x ＞0时

，

解得

则波函数为其中

（2）由概率流密度公式入射波函数概率流密度为

：反射波函数概率流密度为

：透射波函数概率流密度为

：透射系数即

可知

（3）反射系数即显然R+T=l.

2． （1）求算符【答案】⑴

的对易关系. （2）证明其中

即算符⑵则

不对易.

得证.

3． 求电荷为q 的一维谐振子在外加均匀电场E 中的能级，

哈密顿量为

【答案】记常数，且x ，p 换为

则哈密顿量可时的哈密顿量

对易关系不变，而这不影响原有的能级，所以

4． 设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量为（1）求很长时间后已知，基态

电子跃迁到激发态的概率.

（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零? 简述理由

.

【答案】（1）根据跃迁几率公式

其中

可知，必须先求得

相比，相差一

其中 T 为常数。

已知，a 基态其中为玻耳半径.

根据题意知，氢原子在t>0时所受微扰为：氢原子初态波函数为：根据选择定则记由初态

到末态

终态量子数必须是

的跃迁矩阵元为

将

代入跃迁几率公式

（2）基态电子跃迁到

的几率均为0, 因为不符合跃迁的选择定则

5． 力学量在自身表象中的矩阵表示有何特点？

【答案】力学量在自身表象中的矩阵是对角的，对角线上为的本征值。

6． 在表象中，

求自旋算符在

方向投影算符

的本征值和相应的本征态。

【答案】在

表象中的矩阵表示为：

则

的本征方程为：

a 、b 不全为零的条件是久期方程：