2017年清华大学交叉信息研究院841量子力学考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 粒子在一维无限深势阱中运动. 设该体系受到（1）利用微扰理论求第n 能级的准至二级的近似表达式. （2）指出所得结果的适用条件. 【答案】（1） 一维无限深方势阱：体系的零级近似波函数和零级近似能量
求到二级，矩阵元一般形式
则第n 能级的二级近似能量
（2）结果适用的条件是：即
2． 设两个电子在弹性中心力场中运动，每个电子的势能是能和u （r ）相比可以忽略，求这两个电子组成的体系波函数。
【答案】这个一个两电子体系，属于费米子系统。在不考虑电子之间库仑相互作用的情况下，有：
其中
分别为谐振子第m 、n 个能量本征函数。
（2）当
时，由这两电子组成的体系波函数为：
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的微扰作用。
如果电子之间的库仑
（1）当m=n时，由这两电子组成的体系波函数为：
其中：
3． 已知在象到
表象中，的本征函数为：
则由
表
表象的变换矩阵S 是什么？
【答案】
4． 在自旋态【答案】
下，求在自旋态j
下：
所以有：
5． 设粒子从
入射，进入一维阶跃势场：当x ＜0时，如果粒子能量
试
而当x ＞0时
，
（1）写出波动方程式并求解； （2）求透射系数；
（3）求反射系数并求与透射系数之和. 【答案】（1）粒子波动方程为
令
则方程的解为
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其中第一部分为入射波，第二部分为反射波
.
此即透射波函数.
由波函数连续及波函数导数连续有
解得
则波函数为其中
（2）由概率流密度公式入射波函数概率流密度为
：反射波函数概率流密度为
：透射波函数概率流密度为
：透射系数即（3）反射系数即显然R+T=l.
6． （1）求算符【答案】⑴
可知
的对易关系. （2）证明其中
即算符⑵则
不对易.
得证.
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