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一、计算题

1． 有两台机器生产同种金属部件，分别在两台机器所生产的部件中各取一容量为m=14和n=12的样本，

测得部件质量的样本方差分别为水平

检验假设

.

，设两样本相互独立，试在显著性

【答案】这是一个关于两正态总体方差的单侧检验问题，由所给条件算得若取显著性水平值），

拒绝域为

，此处，检验统计量未落入拒绝域中，因此接受原假设. ，可求得临界值为

，

（可用线性插值法或用统计软件求出此值，如在Matkb 中输入

即可给此

2． 一个系统由多个元件组成，各个元件是否正常工作是相互独立的，且各个元件正常工作的概率为p. 若在系统中至少有一半的元件正常工作，那么整个系统就有效. 问p 取何值时，5个元件的系统比3个元件的系统更有可能有效？

【答案】记X 为5个元件的系统中，正常工作的元件数；Y 为3个元件的系统中，正常工作的元件数.

则

对X 而言，系统有效的概率为

对Y 而言，系统有效的概率为

根据题意，求满足下式的P :

，

即

上述不等式可简化为从而有

3． 设的渐近分布为

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，或

或

是从均匀分布

抽取的样本，试求样本均值的渐近分布.

的均值和方差分别为

和

，样本容量为25,

因而样本均值

【答案】均匀分布

4． 口袋中有1个白球、1个黑球. 从中任取1个，若取出白球，则试验停止；若取出黑球，则把取出的黑球放回的同时，再加入1个黑球，如此下去，直到取出的是白球为止，试求下列事件的概率:

（1）取到第n 次，试验没有结束； （2）取到第n 次，试验恰好结束. 【答案】记事件（1）所求概率为

为“第i 次取到黑球”，i=l, 2, ….

，用乘法公式得

（2）所求概率为

，用乘法公式得

5． 某合金钢的抗拉强度y 与碳含量x 有关，现有92炉钢样数据，从中算得

试用两个标准分别建立一元回归方程.

【答案】 （1）用残差平方和最小的标准，可得两回归系数为

（2）用到回归直线垂直距离平方和最小的标准，可得两回归系数为

比较两种标准下的结果，可见与之间相差较大，这是因其相关系数r=0.8902与1有较大差距. 6． 设随机变量X 和Y 的数学期望分别为-2和2, 方差分别为1和4, 而它们的相关系数为根据切比雪夫不等式，估计

【答案】因为

所以

7． 如果

【答案】对任意的

试证:首先考虑

的分布函数

因此

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试

的上限.

其中为X 的分布函数，类似有

因此

由上述两个关系式，再考虑到的任意性，即可得这就意味着 8． 设

与

证毕.

试求

与

然后计算

与

的相关系数

.

的相关系数.

独立同分布，其共同分布为

与

【答案】先计算的期望、方差与协方差

.

二、证明题

9． 试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性:若随机变量立，

则

【答案】因为

所以由X 与Y 的独立性得这正是泊松分布

10．设随机变量X 服从为x 的指数分布，证明:

【答案】因为

的特征函数，由唯一性定理知上的均匀分布，在服从参数为1的指数分布.

所以

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且X 与Y 独

的条件下，随机变量Y 的条件分布是参数