2017年解放军信息工程大学070400统计学应用统计数学基础复试之概率论与数理统计复试实战预测五套卷
● 摘要
一、计算题
1． 假设回归直线过原点，即一元线性回归模型为
诸观测值相互独立.
（1）写出的最小二乘估计，和（2）对给定的
【答案】（1）由最小乘法原理，令
的无偏估计；
求
则正规方程为
其对应的因变量均值的估计为
从中解得届的最小二乘估计为不难看出
于是，由
有
将
写成
的线性组合，利用
间的独立性，有
由此即有
从而
这给出
的无偏估计为
于是
（2）对给定的对应的因变量均值的估计为
2． 在检查了一个车间生产的20个轴承外座圈的内径后得到下面数据（单位：mm ）:
（1）作正态概率图，并作初步判断；
（2）请用W 检验方法检验这组数据是否来自正态分布（【答案】（1）a. 首先将数据按从小到大的顺序排列：
b. 对每一个i ，计算修正频率
表
1
结果见表：
）.
具体数据为
c.
将点
概率图正态-95%置信区间
，得到内径数据的逐一描在正态概率图上（利用软件）
图
d. 观察上述点的分布，可以判断上述20个点基本在一直线附近.
（2）W 检验. 由数据可算得
表
2
为计算方便，建立如下表格
从上表中可以计算出W 的值：
当n=20时，查表知
拒绝域为
由于样本观测值没有落入拒绝域内，
故在显著性水平上不拒绝原假设，即可以认为这批数据服从正态分布.
3． 对给定的n 组数据若我们关心的是y 如何依赖x 的取值而变动，则可以建立如下回归方程
反之，若我们关心的是x 如何依赖y 的取值而变动，则可以建立另一个回归方程
试问这两条直线在直角坐标系中是否重合？为什么？若不重合，它们有元交点？若有，试给出交点的坐标.
【答案】一般不重合. 因为回归方程
可化为
而
化为
当且仅当数据
时两条直线重合. 我们知道，
表示相关系数的绝对值为1，即n 组
1，2，…，n 在一条直线上，这在实际中极其罕见，所以说“一般不重合”.
不重合时，它们一定有交点
4． （巴拿赫问题）某数学家有两盒火柴，每盒都有n 根，每次使用时，他任取一盒并从中抽出一根，问他发现一盒空而另一盒还有是此概率的2倍.
先计算样本空间中的样本点个数，因为每次都是等可能地取A 盒或B 盒，共取了2n —r+1次，故样本空间中共有
个样本点.
个，因此
事件E 发生可分两段考察，前2n —r 次中A 盒恰好取到n 次，且次序不论，最后一次（第2n_r+l次）必定取到A 盒，这样才能发现A 盒已空，此种样本点共有
根的概率是多少？
【答案】由对称性知，只要计算事件E=“发现A 盒空而B 盒还有r 根”的概率即可，所求概率