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一、填空题

1． 设

为球体

上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方。则次球的质

心的z 坐标为_____。

【答案】

【解析】由质心计算公式知

2． 微分方程

【答案】【解析】

2

又因为y=1时x=1，解得C=0，故x=y。

3． 设a=（2, 1, 2），b=（4，﹣1, 10），c=b－λa ，且a ⊥c ，则λ=_____.

满足初始条件

的解为_____。

为一阶线性微分方程，所以

【答案】3

c=b－λa==. a⊥c , 故a ·c=【解析】（4，﹣1, 10）－λ（2, 1, 2）（4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）（2, 1, 2）（·4－2λ, ﹣1－λ, 10－2λ）=27－9λ=0, 从而λ=3.

4． 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论:

设函数f （x ，y ）在点（0，0）的某邻域内有定义，且则有（ ）.

曲面曲线曲线【答案】（C ）

，，

在点在点在点

的一个法向量为

的一个切向量为

的一个切向量为

【解析】函数f （x ，y ）在点（0，0）处的两个偏导数存在，不一定可微分，故（A ）不对. 由于函数存在偏导数不能保证可微分，从而不能保证曲面z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在切平 面，因而（B ）不对; 若z=f（x ，y ）在点（0，0，f （0，0））处存在连续偏导数，曲，而不是（3，-1，1），故（B ）也不对. 面在该点处有切平面，其法向量是（3，-1，-1）

取x 为参数，则曲线x=x，y=0，z=f（x ，0）在点（0，0，f （0，0））处的一个切向量为（l ，0，3），故 （C ）正确. 5． 与积分方程

【答案】注：1°方程

等价的微分方程初值问题是_____。

的积分上限x 是积分方程的变量，它是与y 相对应的；而积分表达

式中f （x , y ）dx 中的x 是积分变量，不能将它与积分上限相混淆，

故积分方程应理解为

2

°由于积分方程后，有恒等式然，当

时，

确定了隐函数

因此积分方程中的y 取

即

显

于是上式两端对x 求导，就得

即

6． 设对于半空间x>0内任意的光滑有向封闭曲面S ，都有

其中f （x ）在【答案】1

【解析】由于所给曲面积分的被积函数具有连续偏导数，由高斯公式得

其中

为S 所围成的空间区域，当s 取外侧面时，上述三重积分前取“+”号；当S 取内侧

为连续函数，且对任意的

。因此，当x>0

内具有连续的一阶导数，则

=_____。

面时，上述三重积分前取“-”号。

由于曲面S 任意，因此空间区域也为任意，根据“若空间区域都有时，有

。

，则

。可知

7． 设为的外侧，则

=_____。

【答案】

【解析】利用高斯公式得

8． 设某商品的需求函数为

【答案】【解析】

边际收益

。

，则该商品的边际收益为_____。 （p 为商品价格）

二、选择题

9． 设平面Ⅱ位于平面Ⅱ1

：

离分为1:3，则平面Ⅱ的方程为（ ）。

【答案】A

，但它不在Ⅱ1【解析】首先注意到Ⅱ1∥Ⅱ2，显然CD 两项中的平面都不平行于Ⅱ1（或Ⅱ2）

与Ⅱ2之间，因此只能选A 项。事实上，Ⅱ1与Ⅱ2在x 轴上的截距分别是2和6，而A 项中两个平面在x 轴上的截距分别是5和3，显然A 项中两个平面把平面Ⅱ1和平面Ⅱ2的距离分为1, 3。

10．曲线

A.0 B.1 C.2 D.3

【答案】C 【解析】因为因为因为

，所以由定义可知，x=1为曲线的垂直渐近线。

，所以y=1为水平渐近线。 ，所以曲线没有斜渐近线。 渐近线的条数为（ ）。

和平面Ⅱ2

：

之间，且将此二平面的距

综上可知，曲线共有2条渐近线。