2017年首都师范大学资源环境与旅游学院601高等数学(通用)考研导师圈点必考题汇编
● 摘要
一、计算题
1． 在yOz 面上，求与三点A （3，1，2），B （4，一2，一2）和C （0，5，1）等距离的点.
，点P 与三点A ，B ，C 等距离，
【答案】所求点在yOz 面上，不妨设为P （0，y ，z ）
由即
解上述方程组，得y=1，z=﹣2. 故所求点坐标为（0，1，﹣2）
2． 已知点A （1，0，0）及点B （0，2，1），试在z 轴上求一点C ，使△ABC 的面积最小.
，由向量的几何意头知
【答案】所求点位于z 轴，设其坐标为C （0，0，z ）
而
故设当
，
则由
时，△ABC 的面积取得极小值，由于驻点唯一，故当
得
.
因
，故
知
，即C 的坐标为（0, 0，）
时，最小.
3． 形状为椭球在探测器的点
处的温度
【答案】作拉格朗日函数
的空间探测器进入地球大气层，其表面开始受热，l 小时后
，求探测器表面最热的点.
令
由式9-7得若
或
。
。再将
代入约束条件
得若
。于是得到两个可能的极值点：，由式（9-8）（9-9）（9-10）解得
；
于是得到另外三个可能
极值点为
比较T 在上述五个可能极值点处的数值知：热的点为 4． 设
【答案】函数在x=1处无定义。 因为
所以x=1为f （x ）的第二类间断点。 又x=0为函数的分段点 因为
所以x=0为f （x ）的第一类间断点（跳跃间断点）。
5． 要造一圆柱形油罐, 体积为V , 问底半径r 和高h 等于多少时, 才能使表面积最小? 这时底直径与高的比是多少?
【答案】己知
, 即
，代入式（9-8），得（9-9）
。
为最大，故探测器表面最
。
求f （x ）的间断点，并说明间断点所属类型。
圆柱形油罐的表面积
令由此时
, 即:
, 得
,
, 知
为极小值点, 又驻点惟一, 故极小值点就是最小值点。, 所以当底半径为
和高
时, 才能使表面
积最小。这时底直径与高的比为1:1。
6． 设有一无盖圆柱形容器，容器的壁与底的厚度均为0.1cm ，内高为20cm ，内半径为4cm. 求容器外壳体积的近似值.
【答案】圆柱体的体积公式为V 的增量△v ，因为
当R=4，H=20，△R=△H=0.1时
即溶器外壳的体积大约是
55.3
7． 交换下列二次积分的次序：
【答案】（1）所给的二次积分等于闭区域D 上的二重积分
，其中
.
，由题意，圆柱形容器的外壳体积就是圆柱体体积
，将D 表达式为
（图1）
则得