2017年吉林师范大学数学学院625高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 二次型
A. 正定 B. 不定 C. 负定 D. 半正定 【答案】B 【解析】方法1
方法2 设二次型矩阵A ，则
是不定二次型，故选B. 是（ ）二次型.
由于因此否定A ，C ，A 中有二阶主子式
从而否定D ，故选B.
2． 设A 是矩阵，
A. 如果B. 如果秩
则则
为一非齐次线性方程组，则必有（ ）. 有非零解
有惟一解 只有零解
有零解.
. 有非零解
C. 如果A 有阶子式不为零，则D. 如果A 有n 阶子式不为零，则【答案】D 【解析】秩
3． 齐次线性方程组
未知量个数，
的系数矩阵为A ，若存在3阶矩阵
使AB=0, 则（ ）
.
【答案】C 【解析】若当C.
4． 设行列式
时，
由AB=0, 用
右乘两边，可得A=0, 这与A 卢）矛盾，从而否定B. ，D.
由AB=0，左乘
可得
矛盾，从而否定A ，故选
为f （X ），则方程，f （x ）=0的根的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知
B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.
所以A 的特征值为3，3，0；而
则A 与B （ ）.
二、分析计算题
6． 证明：如果
【答案】由
不全为零，且
那么
可得
因此根据定理3知
7． 设线性方程组
（1
）的一个基础解系为写出方程组
的通解，并说明理由.
【答案】因为方程（1）的基础解系含n 个向量，
所以其系数矩阵
又令则r （B ）=n，且由题设可知AB=0.因此有列向量是线性方程组以
的列向量组
是线性方程组（2）的一个基础解系，故（2）的通解为
8． 设
试证
是线性空间V 的一组基，
是它的对偶基，
表出）.
的解向量.
个向量，而
所
由于线性方程组（2
）的基础解系含有
的秩的
是V 的一组基并求它的对偶基（用
【答案】可利用定理3. 计算
由于右端的矩阵的行列式.
则
I
故
是V 的一组基. 设
是
的对偶基，