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一、证明题

1． 证明:点列时

,

故从而

同理

充分性 设因此

故点列

2． 证明:若

【答案】（1）若因

为

（2）当且仅当证明如下:由于是

如果

时, 由知, 对任意数列

可推出存在N , 当满足

此时, 命题变为:

时,

但数列

即是发散的.

收敛于

当且仅当a 为何值时反之也成立? 则对任意

存在N , 使得n>N时,

当

时, 也

有

于

是

所以对于任

意

则对任给

存在N , 当n>N时,

即

收敛于

的充要条件是收敛

于

和侧对任给

的

存在N , 当n>N

【答案】必要性 设点

列

3． 设函数u （x , y ）在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数, 证明

其中

为u （x , y ）沿L 外法线方向n 的导数.

所以

由题意知,

在D 上具有连续导数, 故由格林公式知

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【答案】由于

因此

4． 证明:若级数

【答案】假设若 5． 设

【答案】因使得当令发散.

发散，收敛. 因

. 在

上一致连续, 证明

也发散收敛, 且

在

且

则

也发散.

收敛，这与题设

. 发散矛盾，所以

故级数

上一致连续, 故对于

时, 有

则由积分第一中值定理得,

使得

因也即取

收敛, 故级数故对上述的则当

收敛, 从而存在

使得当

即

时,

.

时, 因

故存在惟一的, 使得. 易见, 且

从而

6． 设f （x ）在[a, b]上三阶可导, 证明存在

, 使得

【答案】令则有使得

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,

连续使用柯西中值定理,

,

即

7． 设

在区间

为正数,

与

. 证明:

方程

内各有一个根.

, 故有

由根的存在性定理

, 必存在令

则

即

（2）证法二:令因为在

内有一个根. 同理可证,

方程

在

与

.

, 所以存在

由连续函数根的存在定理知, 存在

在

, 使得

内也有一个根.

且

, 使得

, 故方程

内各有一个根.

和

使得

.

【答案】（1）证法一:设辅助函数

f （

x ）为初等函数

, 因此f （x ）为连续函数. 由于

二、解答题

8．

设

【答案】归纳法易知

即

求

有上界, 然后又因为

所以数列单调递增, 所以由单调有界定理知设

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极限存在.

解得

即

对两边取极限得