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一、计算题

1． 两个均质杆AB 和BC 分别重和

,

其端点A 和C 用球铰固定在水平面, 另一端B 由球铰链

相连接, 靠在光滑的铅直墙上, 墙面与AC 平行, 如图1所示。如AB

与水平线交角为

, 求A 和C 的支座约束力以及墙上点B 所受的压力。

图1

【答案】以Oxyz 为坐标轴, 以AB 为研究对象, 受力如图2所示。 由平衡方程

得

以整体为研究对象, 受力如图3所示。

图2 图3

由平衡方程

解得

2． 图所示两个弹簧的刚度系数分别为的周期

.

物块质量m=4kg.求物体自由振动

图

【答案】两个弹簧串联, 等效刚度系数为:

取坐标原点为平衡位置处, 设在重力作用下变形量为, 则设垂直向下为正向, 则可得物块运动微分方程:

联立以上各式得:

令

上式可化简为:

则

为振动固有频率, 自由振动周期为:

代入数值解得:

（b ）斜面倾角与运动方程无关, 弹簧串联,

解得:

（c ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

（d ）弹簧并联, 等效刚度系数为:

解得:

3． 动圆锥沿定圆锥表面滚动而不滑动（图（a ）），已知两个圆锥的顶角的半径r=20cm, 底面中心A 以速度及其上点B 的速度和加速度的大小

.

，动圆锥底面

作匀速圆周运动. 试求圆锥的角速度和角加速度，以

图

【答案】动圆锥绕定点O 运动. 因为动圆锥沿定圆锥表面滚动而不滑动，所以两圆锥的接触线0C 是动圆锥的瞬轴. 由锥体上点A 的速度大小为

动圆锥绕定点O 的运动，可以分解为以角速度对称轴y 的相对运动（自转），有

可知，动圆锥的角速度的沿瞬轴OC （图（b ）），

绕轴z 的牵连运动（进动）和以角速度绕