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一、计算题

1． 输电线跨度l 相同时，电线下垂量h 越小，电线越易于拉断，为什么？

【答案】可解得h 越小，则a 越小，和 越大，所以电线更易于拉断。

2． 质量为m 的重物悬挂在刚度系数为k 的弹簧上, 且在光滑的铅垂滑道中运动. 在重物的中心处铰接一个质量为M 、长为21的匀质杆, 杆在铅垂平面内运动, 如图1所示.

（1）试确定系统的自由度并选择广义坐标；

（2）写出系统的动能及势能及拉格朗日函数；

（3）写出系统的第二类拉格朗日方程；

（4）求系统的第二类拉格朗日方程的首次积分

.

图1

【答案】（1）以整个系统为研究对象, 物块和杆均做平面运动, 该系统具有两个自由度. 选重物A 的中心的垂直坐标y 和杆的偏角为广义坐标, 如下图所示. 因为作用在系统上的主动力即重力和弹性力均为有势力, 所以可用拉格朗日方程式主动力有势形式求解.

（2）以A 的中心C 点为基点分析AB 杆质心D 的速度, 如图2所示.

图2

根据速度合成公式有

其中

系统动能为

选为零势能点, 设弹簧的原长为则系统的势能为

故系统的拉格朗日函数为

（3）求各偏导数

将以上各式代入第二类拉格朗日方程

（4）求其首次积分

因拉格朗日函数中不显含时间t , 故存在能量积分, 系统机械能守恒, 即

3． 精密仪器使用时, 要避免地面振动的干扰, 为了隔振, 如图1所示在A , B 两端下边安装8个弹簧（每边4个并联而成）.A , B 两点到质心C 的距离相等. 已知地面振动规律为以mm 计）, 仪器质量为800kg , 容许振动的振幅为0.1mm. 求每根弹簧应有的刚度系数

. （式中

图1

【答案】

图2

取静平衡位置为坐标y 的原点, 如图2所示, 根据牛顿第二定律

由

解得

令 代入上式解得刚度系数 得