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一、计算题

1． 在半径为R 的细圆环上分布着不能移动的正电荷，总电量为Q 。

（1）如果某个点电荷电荷线密度

的分布。

放在与0点相距的x 左半轴

使得这两及其位

的绝对值为Q 的v 倍。能否在右半轴上再放一个非零电量的点电荷

可在环中指定直径AOB 线段内做匀速直线运动。试确定圆环上

（2）取x 轴沿直径AOB ，原点0在环中心，将第1问中的点电荷上某点。设电量置。

（3）把上述两个点电荷

和

个点电荷及圆环均可保持不动。设两点电荷都不与环接触，设环的质量分布均匀。试求

固定在第2问中确定的位置上，同时改变它们的电荷符号但保

然后静止地释

持电量大小不变。再使环（所带电量Q 及分布均不变）沿x 轴的正方向平移一小量放。试定量讨论环的运动。设环的质量为m 。

在求解本题时，只需考虑电荷间的库仑作用，其他相互作用均可略。

【答案】（1）由题意，为使带电圆环在直径AOB 上电场强度处处为零，如图1所示，圆环上

任一线元

之半，即

式中

为均匀带电球面的面电荷密度；dS 为球面上环状小带的面积。 所带电量

应等于半径亦为R 、电量亦为Q 的均匀带电球面相应环状小带所带电量

因此，圆环上电荷密度的分布应为

式中R 为半径；Q 为环上总电量

；如图2所示。

图

1

图2

（2）由题意，相当于三个共线的点电荷相互作用达到平衡，如图2所示。其

中

（

中，

把明。

三点电荷均静止不动，要求

其中

故

因题设

代入，得

由后一等式解出

代入前一等式，得

因

，

有限，由式（1）、式（2）可知，v 应满足

因此，

仅当处，

放上电量为

（3

）现在

为负电荷，且v 满足式（3）时，才能在0点右侧x 轴上距离0

点为的负电荷，使得这两个点电荷以及带电圆环Q 均静止不动。 均为正电荷，Q 与

和

的距离分别为

和

刚定，Q 平衡。当

与Q ，

与Q ，

-

和与

都表本电量的绝对值）

，

之间的作用力分别表为

和

分别在Q 的两侧。在图2它们的方向已在图2中标

圆环Q 沿x 轴正向偏离小量x 时，所受作用力为

式中

代入，得

其中

可见，当圆环从平衡位置0沿X 轴有小偏离X 时，

将在线性回复力简谐振动，

其振幅为初始的位移

其圆频率和周期T 分别为

2． 一摩尔氨气经历如图1所示循环过程，其中化为等压过程，be 为绝热过程，ca 为等温过程，

已知

求其循环效率。

的作用下围绕O 点做

图1

【答案】

图2

如图2所示，经过三个过程：

①同时

，

②

为等压过程，

由理想气体的状态方程

所以

为绝热过程，由绝热过程方程可知：

这里③

所以解得

：为等温过程

，

可知为放热。

可得到：

所以效率为

：