2018年曲阜师范大学管理学院850高等代数A考研强化五套模拟题
● 摘要
一、分析计算题
1． 设n 阶方阵A 的全部特征值证
（1）当A 可逆时, （2）当A 不可逆时,
【答案】 （1）由A 可逆, 则其特征值所以
则记
则个特征值当
因为
所以
2． 设倒数也是
的特征向量是是有理数域上n 次的根. 证明:
是非零数, 且0的特征向量是式 . 多项式，并且它在有理数域上不可约，但知
的根.
的任一根. 下证
也是
的的一根的
线性无关,
因为
0的几何重数为
又
则
故第n
是
是不全为0的数.
记
则结论成立.
则
的特征值0
的重数
记
.
若
不妨设
故所有非零n 维列向量都是其特征向量.
若
且
并求出
全不为0, 因为
（2）当A 不可逆时
,
相应的特征向量.
相应的特征向量为
的特征值为
求
0的线性无关的特征向量, 故0的所有特征向量为
每一根的倒数也是的一根，也是
的首项系数，
【答案】设b 是根. 令
可证明:设
的根. 再设c 是
其中d 为与
有相同的根，其中
由于
是首项系数为1的有理系数不可约多项式.
①
由
不可约及①，②两式可得
时，有
且
从而
故
③
由③式可知，当 3．
②
设为两个非零多项式且
. 使
证明:
存在多项式
（1）
其中或
去除
次，但，设
而且这种表示法唯一.
. 或
（2） （3）
【答案】先用若
次，则结论已对；若次，再用g 除，设
将（3）代入（2）, 得
若设另有
（4）
其中
或
次，但
（5）
由于
或为零，或次数
且由（5）又得
同理可得I
4． 求三阶矩阵
可再用g
去除. 如此下去，
由于的次数逐次降
低，从而可得（1）.
（1）-（4），并移项，可得
次数，故上式左端括号内的多项式必等于零，
从而必
. 如此下去，必且
的谱分解.
【答案】A 的特征多项式为
所以A 的特征值为
故A 相似于对角阵，且A 的属于特征值
的线性无关的特征向量分别为
从而有非奇异矩阵
进而有
故A 的谱分解为
5． 设有齐次线性方程组
试问a 取何值时，该方程组有非零解，并求出其通解. 【答案】解法1:方程组系数行列式
当当
，即时，
或
时方程组有非零解.
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