2018年中国民航大学航空工程学院702数学分析与高等代数[专业硕士]之高等代数考研强化五套模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设A 是n 阶矩阵，a 是n 维向量，若秩
A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合冋，也不相似
【答案】B
【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知的特征值为1，1，0, 所以A 与B 合同，但不相似.
3． 设是3维向量空间的一组基,
则由基A.
到基
的过渡矩阵为（ ）.
所以A 的特征值为3, 3, 0; 而B
则A 与B （ ）.
阶方阵，且秩
秩
有无穷多解 必有惟一解
必有非零解
秩A , 则线性方程组（ ）.
B.
C.
D. 【答案】A
4． 设A 、B 均为2阶矩阵，A*, B*分别为A 、B 的伴随矩阵. 如果
的伴随矩阵为（ ）.
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题设
可逆，由于
且
所以
5． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
则分块矩阵
则A 与B （ ）.
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
,
故
再由
是正交阵，知T 也是正交阵，从而有
且由①式使
二、分析计算题
6． 判断下列给出的各变换T 是否为线性变换:
（1）为线性空间V 的一固定向量,
则
V 是全体复数对普通运算作成的实数域R 上与复数域C 上的线性空间, （2）（3）在
中,
则T 就是恒等变换, 当然是线性变换；若
故此时T 不是V 的线性变换.
（2）V 作为R 上线性空间, 则T 为其线性变换:因为任取复数
但V 作为C 上线性空间, T 不是其线性变换:因为例如, 取
（3）T 是
的线性变换:因为
7． 求实数域R 上由矩阵
的实系数多项式构成的线性空间V 的维数与一组基. 【答案】由于
经计算知
【答案】（1）若取数
与实数k , 则
时有