当前位置：问答库＞考研试题

一、选择题

1． 设线性方程组

的解都是线性方程组

的解空间分别为

的解，则（ ）。

则

所以

即证秩 2． 设

A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 既不合同，也不相似 【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

B 的特征值为1，1，0，所以A 与B 合同，但不相似.

3． 设

又

则（ ）•

【答案】（C ） 【解析】令将①代入④得

即

第 2 页，共 40 页

【答案】（C ） 【解析】设

则A 与B （ ）.

所以A 的特征值为3，3，0；而

为空间的两组基，且

由②有

4．

设是3维向量空

间的过渡矩阵为（ ）

.

的一组基, 则由

基到基

【答案】（A ）

5． 在n 维向量空间取出两个向量组，它们的秩（ ）.

A. 必相等

B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在

若选故选B.

从而否定A ,

若选

从而否定C ,

中选三个向量组

二、分析计算题

6． 设f （x ），g （x ）是数域P 上的两个多项式，a ，b ,

证明:【答案】由为了证明只需证明令即化简后有：令解之可得：也就是存在故而

第 3 页，共 40 页

知存在

使得从而

使得

7． 已知二次型

（I ）求矩阵A ；

（II ）证明A+E为正定矩阵，其中E 为3阶单位矩阵. 【答案】（I ）由题设，A 特征值为1，1，0，且量. 设

为A 属于特征值1的特征向量，因为A 的属于不同特征值的特征向量正交，

所以

取

为A 的属于特征值1的两个正交的单位特征向量，并令

为A 属于特征值0的一个特征向

则有

故

（II ）由（I ）知A 的特征值为1，1，0，于是A+E的特征值为2，2，1，又A+E为实对称矩阵，故A+E为正定矩阵.

8． 证明:数域P 上一元多项式环组成的线性空间

【答案】记构造

到

的映射

所以是

到其真子空间

的同构映射. 因此

同构.

显然

是双射

.

常数项为

可以与它的一个真子空间同构.

显然

且

构成

的子空间.

第 4 页，共 40 页