2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设和方差,
（2）当
【答案】 （1）由由于X 的概率密度为
所以
由此证得（2）由
由于
, 所以
知从而将①, ②代入
可得
① ②
与
相互独立知,
与
也相互独立, 从而
①此外, 由
是来自总体x 的简单随机样本,
, 证明:
相互独立知,
也相互独立,
所以
时,
分别为样本的均值
（1）当X 服从数学期望为0的指数分布时,
从而得到目的最大似然估计量为
2． 设是来自的样本，是来自的样本，两总体独立.c ，
d 是任意两个不为0的常数，证明
其中
【答案】由条件有
且
相互独立，故
于是
与分别是两个样本方差.
3． 设随机变量X
服从参数为的泊松分布，试证明
:
【答案】
由此得
4． 设随机变量X 与Y 独立同分布，且都服从标准正态分布
试证明:【答案】设
相互独立. 则
.
利用此结果计算
所以
. 由此得
和
的联合密度为
所以
5． 设
可分离变量，即U 与V 相互独立.
为独立随机变量序列，且
证明:
服从大数定律.
相互独立，且
故可得马尔可夫条件
由马尔可夫大数定律知
6． 设证明:统计量
【答案】分几步进行: （1）若这是因为其中（2）若故
仅在
且的反函数当
则
上取值，所以当为连续严增函数，则也存在. 于是
当
时，
的分布函数为
所以
这是由于y 仅在
当
这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的（3）由
由（1）与（2）可知
的相互独立性可导致
分布函数，即
相互独立，
上取值，
时，有
服从大数定律.
【答案】因
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，
服从