2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计教程考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、证明题
1． 设存在，且N 与
为独立同分布的随机变量序列，且方差存在. 随机变量只取正整数值，独立. 证明:
【答案】因为
所以
2． 证明:对正态分布
，若只有一个观测值，则的最大似然估计不存在.
【答案】在只有一个观测值场合，对数似然函数为
该函数在
时趋于，这说明该函数没有最大值，或者说极大值无法实现，从而的最大
似然估计不存在.
3． 设X 为仅取正整数的随机变量，若其方差存在，证明:
【答案】由于其中
存在，所以级数
绝对收敛，从而有
代回原式即得证.
4． 设随机变量X 取值
【答案】
5．
设
为一事件域，若
，故其对立事件
.
的概率分别是
. 证明
:
试证: （1）（2）有限并（3）有限交（4）可列交（5）差运算
（2）构造一个事件序列由此得（3）因为（4）因为（5）因为.
6． 设证明:统计量
【答案】分几步进行: （1）若这是因为其中（2）若故
仅在
且的反函数当
则
上取值，所以当为连续严增函数，则也存在. 于是
当
时，
的分布函数为
所以
这是由于y 仅在
当
这是参数为1的指数分布函数，也是自由度为2的
【答案】（1）因为为一事件域，所以
，其中
. 所以，所以，所以
，由，由
.
，由（3）（有限交）得，
是来自某连续总体的一个样本. 该总体的分布函数F （X ）是连续严增函数，
服从
上取值，
时，有
分布函数，即
（3）由
由（1）与（2）可知
的相互独立性可导致相互独立，
7． 若
【答案】因为
，证明:
.
•，所以得
由此得
结论得证.
8． 假设随机变量X 服从参数为2的指数分布. 证明:
在区间
上服从均匀分布.
代入函数
【答案】随机变量X 服从参数为2的指数分布, 则X 的概率密度为求得到所以当当
的分布, 关键是确定分段点. 将X 的概率密度函数的分段点同时利用函数
的图形知它的最大值是
是不可能事件, 所以
是Y 的分布函数的分段点. 时, 时, 则
当
时,
下面求Y 的分布函数
综上所述, 得到Y 的分布函数为上式恰好是区间即证明了
上服从均匀分布的随机变量的分布函数, 在区间（0, 1）上服从均匀分布.
二、计算题