2018年清华大学数学科学系432统计学[专业硕士]之概率论与数理统计考研基础五套测试题
● 摘要
一、证明题
1． 设分统计量.
【答案】由几何分布性质知，
其分布列为
在给定
后，对任意的一个样本
有
是来自几何分布
的样本，证明
是充
该条件分布与无关，因而
是充分统计量.
个
和个
譬如
这n 个分布，且
把此序列分成n 段，每段中
的个数依次记为
这里诸
服从几何
这个条件分布是离散均匀分布，可用等可能模型给其一个解释:设想有把它们随机地排成一行，并在最后位置上添上1个
我们指出，此种序列共有个（这是重复组合），而每一个出现这就是在
给定后
的
是等可能的，
即每一个出现的概率都是条件联合分布.
这个条件分布还表明:
当已知统计量
的值t 后，就可按此条件分布产生一个样本
它虽与原样本不尽相同，但其分布相同.
在功能上这等价于恢复了原样本. 这就是充分统计量的真实含义.
2． 设随机变量X 服从负二项分布，其概率分布为
证明其成功概率p 共轭先验分布族为贝塔分布族. 【答案】取成功概率p 先验分布为所以，
，则
与的联合分布为
即成功概率p 的后验分布为塔分布族.
3． 设T 是
证明:若
【答案】因为T 是即这说明
*
即
4． 设随机变量X 与Y 相互独立，且方差存在. 证明:
【答案】
5． 从同一总体中抽取两个容量分别为n , m 的样本，
样本均值分别为
将两组样本合并，其均值、方差分别为
证明:
样本方差分别为
，且
，故成功概率p 的共轭先验分布族为贝
的UMVUE ,
，则
是的另一个无偏估计，
的无偏估计，故其差，由判断准则知1
是0的无偏估计，
，
的UMVUE ，是
【答案】设取自同一总体的两个样本为由
得
由
得
6． 设在常数c
为独立同分布的随机变量序列，方差存在，令使得对一切n 有
则
证明:
服从大数定律.
对任意的
因而
证明有
所以由马尔可夫大数定律知
服从大数定律.
且X
的特征函数，由唯一性定理知
7． 试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性:若随机变量与Y 独立，则
【答案】因为
所以由X 与Y 的独立性得这正是伽玛分布
有
. 又设
为一列常数，如果存
【答案】不妨设