2018年福州大学数学与计算机科学学院818高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设A , B为同阶可逆矩阵，则（ ）.
A.AB=BA
B. 存在可逆阵P ，使.
C. 存在可逆阵C 使【答案】D 【解析】 2． 设
A. 合同且相似 B. 合同但不相似 C. 不合同但相似 D. 不合同不相似 【答案】A
【解析】因为A ，B 都是实对称阵，且B 有4个特征值
又因为
即A 也有4个特征值0, 0, 0, 4.因而存在正交阵
其中得
因此A 与B 合同.
3． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
D. 存在可逆阵P , Q , 使PAQ=B
其中
则PAQ=B
则A 与B （ ）.
使
,
故
再由是正交阵，知T 也是正交阵，从而有且由①式
则为（ ）.
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E.
4． 设A 、B 为满足的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设设
由于性相关. 又由方法2:设考虑到
即
故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关.
5． 设行列式
知
，
由已知及以上证明知B' 的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于
所以有
所以有
可推得AB 的第一列
并记A 各列依次为
从而
线
由于
不妨
，则方程，为
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】B
的根的个数为（ ）
【解析】因为将原行列式的第1列乘（-1）分别加到其他3列得
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有两个根
二、分析计算题
6． 设n 阶方阵A 在复数域内的特征根是
证明:A 的伴随矩阵
【答案】设J 是A 的若尔当标准形, 故存在可逆方阵P 使
的特征根为
（1）
其中是特征根为
的若尔当块.
则由于上三角形矩阵的伴随矩阵, 故由（1）得
其中
是伴随
矩阵的特征根. 但因为
阶主子式可知:
因此, 这就是
7
． 设则
也是
均为有理数，且的k 重根.
在Q 上不可约|故又因为
从而' 是
是无理数且
的k 重根，故它也是
的根，但不是们的根，但却不是是的k 重根.
8． 设
能被
的根. 由于这些都是Q 上多项式，于是由上面的证明知
，的根（否则亦由上证明知，
. 将是
的根），因此，
. 也是它
），且又与
不互素（因为二者都有根
）
为无理数，证明:若
有理系数多项式
的k 重根，
的全部特征根.
与
相似有相同的特征根, 故
也是
的特征根. 由直接计算J 的
【答案】由于显然有理数域Q 上多项式
都是多项式整除. 证明:每个
且
（6）
的所有系数之和都等于零.
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