2018年广东技术师范学院系统科学830高等代数考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、选择题
1． 设
其中A 可逆，则=（ ）.
A.
B.
C.
D. 【答案】C
1
【解析】因为
所以
2． 设A 、B 、C 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，
如
A.E B.-E C.A D.-A
【答案】A
【解析】由题设（E-A ）B=E所以有
B （E-A ） =E
又C （E-A ）=A故
（B-C ）（E-A ）=E-A
结合E-A 可逆，得B-C=E. 3． 设是非齐次线性方程组
A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为但D 中
所以
不一定线性无关. 而
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则
为（ ）.
的两个不同解，是的基础解系，
为任意常数，则Ax=b的通解为（ ）
，因此不是的特解，从而否定A ，C.
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由于
，因此
线性无关，且都是
的解.
的特解，因此选B.
故是的基础解系. 又由知是
4
．
在n 维向量空间取出两个向量组,
它们的秩（ ）.
A. 必相等
B. 可能相等亦可能不相等 C. 不相等 【答案】B 【解析】比如在
中选三个向量组
，
从而否定A , 若选
若选
故选B.
5． 设线性方程组
A. B. C. D.
【答案】C 【解析】设即证
, ，从而否定C ,
的解都是线性方程组
的解, 则（
）.
与
的解空间分别为则所以
二、分析计算题
6． 设是n 欧氏空间的线性变换,
证明（1）是线性变换
； （2）的核等于的值域的正交补. 【答案】（1）由a 的任意性, 特别令
则②式仍成立,
此即
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是同一空间V 的变换, 且对
有
由①有
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类似可证（2）下证
所以是V 的线性变换.
由①, 有
由④知反之
即. 此即
. 则
由⑥即知 是线性空间
使
中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互素，
，要证
. 若有
所以
此即
由的任意性, 特别令由⑤, ⑦即证
7． 如果
那么它们线性无关.
【答案】设有一组数某
，不妨设为
, 则可得
由此知道，, 即
,
的公因式皆为
有非常数公因式，
与题设线性无关.
中, 规定
可验证V 构成R 上线性空间, 求
必线性无关. 不妨令
所以2是线性空间V 的一个基,
9． 在给定了空间直角坐标系的三维空间中, 所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间R 3
（1）问所有终点都在一个平面上的向量是否为子空间；
（2）设有过原点的三条直线，这三条直线上的全部向量分别成为三个子空间
能构成哪些类型的子空间，试全部列举出来.
（3）就用几何空间的例子来说明:若有
【答案】 （1）若原点在所指的平面上，则终点在该平面上的全部向量构成子空间. 若原点不
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的因式. 而题设有非常数公因式，
故
互素矛盾.
故
8． 在全体正实数集合
又由于
有
【答案】该空间中零元素为1, 所以任取非零正实数
问
是否一定
是子空间，满足