2017年山东大学数学学院825线性代数与常微分方程之高等代数考研强化模拟题
● 摘要
一、选择题
1． 设
A. 若B. 若C. 若D. 若【答案】A 【解析】因为当否则有
由上述知
线性相关，所以
于是
因此线性相关，故选A.
2． 设A 为n 阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得B ，则有（ ）.
A. 交换A*的第1列与第2列得B* B. 交换A*的第1行与第2行得B* C. 交换A*龙第1列与第2列得-B* D. 交换A*的第1行与第2行得-B* 【答案】C
【解析】解法1:题设P （1, 2）A=B，所以有
又
所以有
即A*右乘初等阵P （1，2）得-B*
解法2:题设P （1，2）A=B，所以丨B 丨=-丨A 丨. 因此
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均为n 维列向量，A 是线性相关，则线性相关，则线性无关，则线性无关，则
矩阵，下列选项正确的是（ ）. 线性相关. 线性无关. 线性相关. 线性无关.
则
线性无关，
线性无关时，若秩
线性相关. 由此可否定C ，D. 又由
分别为A ，B 的伴随矩阵，
即
3． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8, 再将B 的第1列的一1倍加到第2列得C ，
记
A. B. C. D.
【答案】B
则（ ）.
【解析】由已知，有
于是
4． 设A 、B 为满足AB=0的任意两个非零矩阵. 则必有（ ）.
A.A 的列向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性相关，B 的行向量组线性相关 D.A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关 【答案】A 【解析】方法1:设由于
又由方法2:设考虑到
不妨设线性相关.
并记A 各列依次为
由于AB=0可推得AB
的第一列
从而
由已知及以上证明知B ’的列线性相关，即B 的行向量组线性相关.
由于AB=0, 所以有
即r （A ）>0, r （B ）>0, 所以有
R （A ） 故A 的列向量组及B 的行向量组均线性相关. 第 3 页，共 40 页 5． 设 其中A 可逆，则A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为 =（ ）. 二、分析计算题 6． 证明： 如果向量组 线性表出. 【答案】由题设有不全为零的 数 现来证 且有 乘以 则得 即可由 线性表出. 7． 设A 为正定矩阵，证明对任一正整数m ，存在唯一的正定矩阵B ，使 【答案】（1）因为A 正定，所以存在正交阵T ，使 取 （2）唯一性. 如还有 取 由于 即 结合式（1）知所以 又这样有 即 ， 从而有正定（当然可逆） 故有 第 4 页，共 40 页 线性无关， 而 使 由 线性相关， 则向量 可以由 将 不全为零，故将 移项，得不全为零， 两端同 用反证法，若 与题设线性无关矛盾. 故 显有C 正定. 且B 为正定矩阵. 设 这里 由于B 为实对称矩阵，所以B 有n 个线性无关的特征向 则
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