2017年南京师范大学教师教育学院878数学学科基础[专业硕士]之高等代数考研仿真模拟题
● 摘要
一、计算题
1． 求由摆线x=a（t-sint ），y=a（1-cost ）的一拱（0≤t ≤2π）与横轴所围成的图形的面积.
，则所求面【答案】以x 为积分变量，则x 的变化范围为[0，2πa]，设摆线上的点为（x ，y ）积为
，再根据参数方程换元，令x=a（t-sint ），则y=a（1-cost ），因此有
2． 已知点A （1，0，0）及点B （0，2，1），试在z 轴上求一点C ，使△ABC 的面积最小.
，由向量的几何意头知
【答案】所求点位于z 轴，设其坐标为C （0，0，z ）
而
故设当
，
则由
时，△ABC 的面积取得极小值，由于驻点唯一，故当
得
.
因
，故
，即C 的坐标为（0, 0，）
时，最小.
3． 求下列幂级数的收敛区间：
【答案】（1）
因
故收敛半径为（2）
收敛区间为
因
故收敛半径为（3）令因
级数的收敛区间为
（4）令
，原级数成为
由第（3）题知该级数的收敛区间为
因
即
收敛区间为
先讨论级数
的收敛区间。
的收敛区间为
从而原
故收敛半径
故原级数的收敛区间为
4． 如图所示电缆的长为S ，跨度为21，电缆的最低点0与杆顶连线AB 的距离为f ，则电缆长可按下面公式计算。
图
当f 变化了△f 时，电缆长的变化约为多少? 【答案】
5． 交换下列二次积分的次序：
【答案】（1）所给的二次积分等于闭区域D 上的二重积分
，其中
，将D 表达式为
（图1）
则得
图1 图2
（2）所给二次积分等于二重积分
，其中
，
（图2）
D 可表达为
，于是
（3）所给二次积分等于二重积
分
（图3）。将D 表达
为
于是
，其
中，其
中