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一、计算题

1．

已知物体的运动规律为

。

【答案】因为

故

2． 分别按下列条件求平面方程：

； （l ）平行于xOz 面且经过点（2，﹣5，3）； （2）通过z 轴和点（﹣3，1，﹣2）

（3）平行于x 轴且经过两点（4，0，﹣2）和（5，1，7）.

【答案】（l ）所求平面平行于xOz 面，故设所求平面方程为By ＋D=0.将点（2，﹣5，3）代入，得﹣5B ＋D =0，即D=5B.因此，所求平面方程为By ＋5B=0，即y ＋5=0.

（2）所求平面过z 轴，故设所求平面方程为Ax ＋By=0.将点（﹣3，1，﹣2）代入，得﹣3A ＋B=0，即B=3A.因此，所求平面方程为Ax ＋3Ay=0，即x ＋3y=0.

（3）所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为By ＋Cz ＋D=0.将点（4，0，﹣2）及（5，1，7）分别代入方程得﹣2C ＋D=0及B ＋7C ＋D=0.解得

因此，所求平面方程为

即

9y －z －2=0

3． 求点（l ，2，l ）到平面x ＋2y ＋2z －10=0的距离.

【答案】利用点

到平面Ax ＋By ＋Cz ＋D=0的距离公式

，求物体运动的加速度，

并验证（A , W 是常数）

4． 求下列函数的最大值、最小值:

【答案】（l ）函数在令

, 得驻点

上可导, 且, 比较, 最小值为上可导, 且上可导, 且,

比较

,

得函数的最大值为

得函数的最大值为（2）函数在（3）函数在令最小值为 5． 设

【答案】当

,

得驻点

,

求

时，则

及。

当

时，则

故

6． 问函数

【答案】函数在[1, 4]上可导, 令

7． 利用递推公式计算反常积分

【答案】当n ≥1时，故有

。

, 得驻点

（舍去）,

, 比较

处取得最大值, 且最大值为

在何处取得最大值? 并求出它的最大值。

得函数在

8． 下列陈述中，哪些是对的，哪些是错的? 如果是对的，说明理由; 如果是错的，试给出一个反例。

（l ）如果（2）如果（3）如果

存在，但和存在，但

不存在，那么都不存在，那么

不存在，那么

存在，则

在

时的极限都不存在，但

在

不存在; 不存在;

不存在.

也

【答案】（l ）对。因为，若存在，与己知条件矛盾.

（2）错。例如时的极限存在.

（3）错。例如

不存在，但。