2018年华东理工大学药学院314数学(农)之概率论与数理统计考研仿真模拟五套题
● 摘要
一、计算题
1． 设圆的直径服从区间（0, 1）上的均匀分布，求圆的面积的密度函数.
【答案】设圆的直径为X ，则圆的面积
，而X 的密度函数为
因为且
在区间（0，1）上为严格单调增函数，其反函数为，所以圆面积
的密度函数为
2． 己知某炼铁厂铁水含碳量服从正态分布（
）?
【答案】这是关于正态总体均值的双侧假设检验问题，原假设
由于总体方差已知，故采用“检验，检验的拒绝域为当
时，查表知
由己知条件，
，故
这里值没有落入拒绝域，故不能拒绝原假设，因而可以认为生产的铁水平均含碳量仍为4.55.
3． —个人把六根草紧握在手中，仅露出它们的头和尾，然后随机地把六个头两两相接，六个尾也两两相接，求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率.
【答案】因为“六个尾两两相接”不会影响是否成环，所以只需考虑“六个头两两相接”可能出现的情况，若考虑头两两相接的前后次序，则“六个头两两相接”共有
种不同结果，即先
从6个头中任取1个，与余下的5个头中的任1个相接；然后从未接的4个头中任取1个，与余下的3个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6! 种可能接法，这是分母，而要成环则第一步从6个头中任取1个，此时余下的5个头中有1个不能相接，只可与余下的4个头中的任1个相接；第二步从未接的4个头中任取1个，与余下的2个头中的任1个相接；最后从未接的2个头中任取1个，与余下的最后1个头相接，这总共有6×4×4×2×2×1种可能接法，由此得所求概率为
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，
. 现在测定了9炉铁水，其平均含碳量
为4.484，如果铁水含碳量的方差没有变化，可否认为现在生产的铁水平均含碳量仍为4.55
和备择假设，
分别为
4． 如果
试证: （1）（2）
【答案】（1）因为故当即
（2）先证明使有这时有
从而有
由即
的任意性知
成立.
的长度不小于
现从这批木柱中随机地取出100根，问
利用棣莫弗-拉普拉
同理可证
由上面（1）得
5． 有一批建筑房屋用的木柱，其中其中至少有30根短于
时，有
成立，进一步由对任意的
可得
所以又有
）， 时，有
成立.
取M 足够大（譬如
成立，对取定的M ，存在N ，当
的概率是多少？
的根数，则
【答案】记X 为100根木柱中长度不小于斯中心极限定理，所求概率为
这表明至少有30根木柱短于
的概率近似为
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6． 设有两工厂生产的同一种产品，要检验假设产品各抽取拒绝下，
总废品率为检验统计量为
，
.
个及
:它们的废品率相同，在第一、二工厂的
水平上应接收还是
个，分别有废品300个及320个，问在
【答案】这里样本量很大，可采用大样本近似，以分别表示两个工厂的废品率，则在
在原假设下，该统计量近似服从正态分布N （0，1）, 故检验拒绝域为此处
，故
由于
7． n 个男孩，m 个女孩
，
，故不能拒绝原假设，此处经计算，检验的p 值近似为0.1040.
随机地排成一排，试求任意两个女孩都不相邻的概率.
时，所求概率为
【答案】将n 个男孩看成是n 个“0”，m 个女孩看成是m 个“1”，而“任意两个女孩都不相邻”则相当于“没有两个1连在一起”，于是在
譬如，
8． 对三种储藏方法的平均含水率在为5,
可采用重复数相等场合的T 法. 若
取
. 所以
. 因而可得如下结论
，认为认为，认为
由此可见，在显著性水平0.05下，法有显著差别.
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等.
下作多重比较.
【答案】由于储藏方法因子是显著的，因此可以作多重比较. 此处各水平下试验次数相同，均
，则查表
知
，
而
有显著差别；
无显著差别；
有显著差别.
之间都有显著差异，
之间无显著差别，而它们与
即第一种储藏方法与第三种储藏方法对粮食的含水率方面差别不明显，它们与第二种储藏方
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