2017年中国科学技术大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 验证形如程，并求其通解。
【答案】由又原方程改写
成
，可分离变量得
积分得 2． 设二阶导数且
（1）
；（2）
是由方程。
。
，两边同时微分得
又
，则
故
3． 设函数f （u ）具有二阶连续导数，则
若
【答案】设
则
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的微分方程，可经变量代换v=xy化为可分离变量的方
即得 ，并
将
后，便是原方程的通解。
代入上式，
有
，代入
所确定的函数，其中具有
【答案】（1）由方程
。
（2）由（1）可得，
满足
求f （u ）的表达式。
由条件
非齐次方程，对应齐次方程的通解为：
其中
对应非齐次方程特解可求得为故非齐次方程的通解为将初始条件故 4． 设
【答案】由于f （x ，y ）在不同范围内的表达式不同，故应将积分区域划分为如下图所示。
当
时，
当
时，有
求
。 两个区域，
的表达式为
代入，可得
为任意常数。
其中
为为任意常数。
可知
，这是一个二阶常用系数线性
当
时，有
当
时，有
综上所述，得
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二、计算题
5． 交换下列二次积分的次序：
【答案】（1）所给的二次积分等于闭区域D 上的二重积分
，其中
，将D 表达式为
（图1）
则得
图1 图2
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