2017年中国农业大学高等数学复试实战预测五套卷
● 摘要
一、解答题
1． 已知函数f （x ）满足方程
（1）求表达式f （x ） （2）求曲线的拐点
【答案】（1）特征方程
为
的通解
为可知
（2）曲线方程为
故则
令
号。
当
时
，
可知
知曲
线
2． 设函数f （x ）在区间[a, b]上连续，且f （x ）≥0，那么
【答案】
在几何上表示什么？
可知
是
可
知
当
时
，
得
为了说明
是
唯一的解，
我们来讨论
在
和
时的符
特征根
为
再
由
齐次微分方
程
得
及
的唯一解，同时，由上述讨论可
在x=0左右两边的凹凸性相反，可知（0，0）点是曲
线
唯一的拐点。
表示xOy 面上，由曲线y=f（x ）, x=a, x=b以及x 轴所围成的图形绕x
轴旋转一周而得到的旋转体的体积。
3． 如果在时刻t 以的流量（单位时间内流过的流体的体积或质量）向一水池注水，
那么
表示什么？ 【答案】
表示在时间段[t1，t 2]内向水池注入的水的总量。
4． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成
。
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令，
即，积分得
，
有，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
故求特解为
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
二、计算题
5． 求函数
设
故由莱布尼茨公式，得
6． 一房地产公司有50套公寓要出租。当月租金定为1 000元时, 公寓会全部租出去。当月租金每增加50元时, 就会多一套公寓租不出去。而租出去的公寓每月需花费100元的维修费。试问房租定为多少时可获得最大收入?
【答案】设每套月房租为x 元, 则租不出去的房子套数为
, 租出的每套房子获利（x-100）元。故总利润为
, 租出去的套数为
在x=0处的n 阶导数，则
。
【答案】本题可用布莱尼公式求解。
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则令
,
得驻点
,
由
知
为极大值点, 又驻点惟一, 这极大值点就是最大
值点。即当每套月房租定在1800元时, 可获得最大收入。
7． 设积分
其中试求
为连接点。
与
围成的平面区域D ，且围成D 的正向曲线为L ，则
8． 设
【答案】
，试按定义求
。
的直线段，
B 的抛物线段为连接A 、
，
【答案】令
三、证明题
9． 证明:双曲线
上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 。
2
【答案】设（x 0, y 0
）为双曲线切线方程为
或
上任一点，
曲线在该点处的切线斜
。
。
由此可得所构成的三角形的面积为
10．证明方程
【答案】取函数由零点定理知至少存在点根。
若方
程故至少存在点
还有一个正
根上连续,
在
, 使
, 但,
即
使
只有一个正根。
,
在[0, 1]上连续, 即方程
, ,
在（0, l ）内至少有一个正。则
由
内可导知
, 矛盾。
在
满足罗尔定理条件,
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