2017年中国科学技术大学高等数学复试仿真模拟三套题
● 摘要
一、解答题
1． 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解
【答案】（1
）将原方程写成此得离变量，得
代入初始条件：
积分得
两边平方，得
因而特解可表示为
（2）令入初始条
件
代入初始条件
（3）因
并由初始条件x=1,
又因x=1时，
故积分得
又因x=1时，y=0, 故再积分得
（4
）在原方程两端同乘以
得
即
积分得
代
则
，原方程化为
得
从而
有
得
，故所求特解为故积分得
分离变量即
即
积分得
代
又积分
得
，两端乘以
得
，
得
故有
即
由分
代入初始条件：x=1, y=1，得C=±1，
于是有由于在点x=1处，y=1, 故在x=1的某邻域内y>0,
入初始条件：
得
得从而有
分离变量后积分
即
代入初始条件：x=0, y=0,
得
（5）在原方程两端同乘以入初始条件
分
得
代入初始条件：（6
）令
则
得
得从而有
得
于是得特
解
即
即并由于
，
故取
积分得代
分离变量后积
于是得特解
分离变量，
得即
由初始条
又分离变量，
得
得
原方程变为
得
积分
或写成
件：y=0, p=0, 积
分
由初始条件
：
，即
2． 求下列齐次方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）
，令。
。
，
令
，
即
，
有
，则原方程为
，即
有
，
【答案】（1）当x>0时，可将原方程写成则原方程为
积分得将
，分离变量，得，即
代入上式并整理，得通解
（2
）原方程可表示成
，分离变量，得
积分，得将
代入上式，得
，即
。
。
。
，即
。
。
，有
，则原方程
，故通解为，令，积分得
（3
）原方程可表示为为
将
，即
代入上式并整理，得通解
（4）原方程可写成令
，即
，有
，则原方程为
，积分得
, 令
，即，积分得
，有，即
。
。
分离变量，得将
代入上式并整理，得通解
（5）原方程可写成
。分离变量，得
将
代入上式，得通解（6）原方程可写成则原方程为整理并分离变量，得积分得 3． 计算
【答案】
，其中
即
。
，则原方程成为，即
。令 ，即
，将
，即，有。
。
代入上式，得通解
。
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