2017年中国民航大学高等数学考研复试核心题库
● 摘要
一、解答题
1． 求由方程的极值。
【答案】在原方程两边同时对X 求导得
在原方程两边同时对y 求导得
在
两式中，令
，解得
将其代入已知方程得导得
式两边对y 求导得
当
时，
，将其代入
三式中，得
则函数Z 在当
处取得极小值
时，
。
，并将其代入
，得
故Z 在点
处取到极大值
。
第 2 页，共 36 页
确定的函数
，故驻点为和，式两边对x ，y 分别求
2． 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解
（1）（2）（3）
【答案】（1）原方程可写成令
，
即，积分得
，
有
。
，
则原方程为，即
，代入
，分离变量，
得
并整理，得通解。
，分离变量，
得
，
积分得
。
由初始条件x=0, y=1, 得C=-1，于是所求特解为（2
）令
。
将求特解为
（3）将原方程写成
代入上式并整理，得通解
。
，令
，整理并分离变量，得
，有
，
有
则原方程成为
，代入初始条件x=1, y=2, 解得C=2，于是所
，则原方程为
，积分得
故求特解为
，代入。
并整理，得通解
，以初始条件x=1, y=1定出C=1。故所
3． 求下列微分方程的通解
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）
第 3 页，共 36 页
（9）（10）
【答案】（1）原方程为两端积分得即
，故通解为
（2）原方程可写
成
。
（3）原方程
为
即为原方程的通解。
（4）原方程可写
成
，即
（5）原方程分离变量，
得
，可写成
为
（6）原方程分离变量，得可写成（7）原方程为
即
故原方程的通解为（8）原方程分离变量，得
即
故原方程的通解为（9）原方程分离变量，得
故原方程的通解为
第 4 页，共 36 页
，分离变量得
，即
。 ，积分
得
，即通解
为
，
，分离变量
得，两端积分
得
，分离变量
得是原方程的通解。
，两端积分
，，即
，两端积分
，分离变量，得
，两端积分，得
, 两端积分，得
；两端积
分
，
得
，故原方程的通解，得
，
或写成
或写成
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